Improved approximations of the exponential integral in tempering kinetics

Abstract

The exponential integral in non-isothermal kinetic equations for tempering with linear heating can be represented in the following analytical form

$$\int\limits_0^T {e^{ - E/kT'} dT'} = \frac{{kT^2 /E}}{{\sqrt {1 + 4kT/E} }}e^{ - E/kT} ,$$

which is one order inkT/E≪1 more accurate than two other representations recently proposed in this journal [1, 2]. A few variants of approximated forms for the exponential integral are compared with regard to the error due to the kind of approximation, which appears when activation energies are evaluated from experimental non-isothermal kinetic curves.

Résumé

En cinétique non-isotherme l'intégration de l'exponentielle peut être représentée sous la forme análytique suivante:

$$\int\limits_0^T {e^{ - E/kT'} dT'} = \frac{{kT^2 /E}}{{\sqrt {1 + 4kT/E} }}e^{ - E/kT} ,$$

Dans le cas oùkT/E≪1, cette représentation est plus exacte que les deux autres récemment proposées dans ce périodique [1, 2]. On compare quelques variantes de forme approchée en vue d'évaluer les erreurs dues à la méthode d'approximation, qui se manifestent lors de l'évaluation des énergies d'activation à partir des courbes cinétiques non-isothermes obtenues expérimentalement.

Zusammenfassung

Das in kinetischen Gleichungen für Tempern mit konstanter Heizrate auftretende Integral kann in der folgenden analytischen Form dargestellt werden

$$\int\limits_0^T {e^{ - E/kT'} dT'} = \frac{{kT^2 /E}}{{\sqrt {1 + 4kT/E} }}e^{ - E/kT} ,$$

die um eine Größenordnung inbezug aufkT/E≪1 genauer ist, als zwei andere Darstellungen, die vor kurzem in dieser Zeitschrift vorgeschlagen wurden [1, 2]. Mehrere Varianten für die genäherte Darstellung des obengenannten Integrales werden verglichen hinsichtlich der durch die Art der Approximation bedingten Fehlerfortpflanzung bei der Bestimmung der Aktivierungsenergie aus experimentellen nichtisothermen kinetischen Kurven.

Резюме

Интеграл, встречающи йся в неизотермическ их кинетических уравне ниях может быть аппроксимирова н в следующем аналити ческом виде

$$\int\limits_0^T {e^{ - E/kT'} dT'} = \frac{{kT^2 /E}}{{\sqrt {1 + 4kT/E} }}e^{ - E/kT} ,$$

причем эта аппроксим ация на один порядок относительноkT/E≪1 боле е точно, чем два приближенных предст авления, предложенны е недавно в этом журнале [1,2]. Сравни ваются несколько вариантов приближенного предс тавления вышеуказанного инте грала и погрешности, вносимые приближени ями, при определении энергии активации из экспериментальных неизотермических ки нетических кривых.