On norms in weighted spaces of functions given on infinite intervals

Abstract

Для измеримой функци иf: (1, ∞)→ R положим

$$\left\| f \right\|_{p,\alpha } = \left\| {t^\alpha f(t)} \right\|_{L_p (1, + \infty )} , \left\| f \right\|_{p,0} = \left\| f \right\|_p , 1 \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} p \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} + \infty , \alpha \in R.$$

Пусть функцияf имеет абсолютно непрерывн ую производную порядкаr-1,r∈N, на каждом конечном отре зке, содержащемся в (1, ∞),ϕ — неотрицательная и змеримая функция, также заданная на (1, + ∞), и1/p+1/q=1.

Если$\left\| {\varphi f^{(r)} } \right\|_p< + \infty , \left\| {t^\alpha \varphi ^{ - 1} } \right\|_q< + \infty ,$ α> r-1, то существуе т такой единственный многочлен$\left\| {\varphi f^{(r)} } \right\|_p< + \infty , \left\| {t^\alpha \varphi ^{ - 1} } \right\|_q< + \infty ,$, что

$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } [f(t) - P(t)]^{(m)} = 0, m = 0,1, \ldots ,r - 1.$$

ДляP(t) справедливо нер авенство

$$\left\| {(f - P)^{(m)} } \right\|_{1,\alpha - r + m} \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} \frac{1}{{\alpha (\alpha - 1) \ldots (\alpha - r + m + 1)}}\left\| {\varphi f^{(r)} } \right\|_{p.}$$

Если, кроме того, для на боров индексов {i _µ}, {j _v}

$$0 \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} i_\mu = r - 1, 0 \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} j_v \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} r - 1, \mu = 1,2, \ldots ,k, v = 1,2, \ldots ,l, k + l = r,$$

вьшолняются условия Пойа, то

$$\left| {f^{(s)} (t)} \right| \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over{\smash{\scriptstyle=}\vphantom{_x}}$}} c\left\| f \right\|_{p,\varphi }^{(i_1 , \ldots ,i_k ;j_1 , \ldots ,j_l )_{t^{r - s - 1} } } , t \in (1, + \infty ), s = 0,1, \ldots ,r - 1,$$

где

$$\left\| f \right\|_{p,\varphi }^{(i_1 , \ldots ,i_k ;j_1 , \ldots ,j_l )} = \sum\limits_{\mu = 1}^k {\left| {f^{(i_u )} (1)} \right| + \sum\limits_{v = 1}^1 {\left| {a_{j_v } } \right| + \left\| {\varphi f^{(r)} } \right\|_{p,} } }$$

((*))

и функционал (^*) являет ся нормой, эквивалент ной норме

$$\left\| f \right\| = \sum\limits_{s = 0}^{r - 1} {\left| {f^{(r)} (2)} \right| + \left\| {\varphi f^{(r)} } \right\|_p }$$

в пространстве функц ий/, для которых конечн а полунорма¦ϕf ⁽²⁾∥ _p .