Lacunary subsets of orthonormal sets

Abstract

В РАБОтЕ РАссМАтРИВА УтсьS _Р-пОДсИстЕМы О. Н.с.

В ЧАстНОстИ, ДОкАжыВА Етсь слЕДУУЩАь тЕОРЕ МА, кОтОРАь НЕУсИльЕМА.

тЕОРЕМА.пУсть Р>2 —ЧЕ тНОЕ ЧИслО, δ — пРОИжВО льНОЕ ЧИслО, 0<δ≦p−2,Φ= {Φ _n(x)} ^N_n=1 —O.H.C.,x∃[0,1],пРИЧЕМ ∥ Φ _n∥_p≦M, n=1,2,...,N, гДЕР=Р+δ, 0М<∞. тОгДА Иж сИстЕМы Ф МОж НО ВыБРАть пОДсИстЕМ У$\Phi ' = \left\{ {\varphi _{n_k } } \right\}_{k = 1}^{N'} ,N' \geqq N^{\alpha (\delta )} ,\alpha (\delta ) = \frac{{2\delta }}{{p(p - 2 + \delta )}}$, тАкУУ, ЧтО Дль лУБОгО п ОлИНОМА$P(x) = \sum\limits_{k = 1}^{N'} {a_k \varphi _{n_k } (x)}$ ИМЕЕ т МЕстО ОцЕНкА

$$(\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} \leqq \left\| P \right\|_p \leqq c_{p,M,\delta } (\mathop \sum \limits_{k = 1}^{{\rm N}'} a_k^2 )^{1/2} $$

(c _p, m, δ — пОстОьННАь, жАВИ сьЩАь тОлькО Отp, M, δ, НО НЕ От N ИлИ кОЁФФИцИЕНтОВ пО лИ-НОМА).

пРИВОДьтсь И ДРУгИЕ РЕжУльтАты А НАлОгИЧНОгО хАРАктЕ РА.