On copositive approximation by algebraic polynomials

Abstract

Для функцииf ∈C[−1, 1] с ог раниченным числом пе ремен знака строится последовательность многочленовр _п , коположительных сf (т.е.f(x)p _n (x)≥0, −1≤х<1) и таких, что

$$\left\| {f - p_n } \right\|_\infty \leqslant C\omega _\varphi ^3 (f,n^{ - 1} ),$$

гдеω ³_ϕ (f, δ) — модуль непр ерывности Дитциана-Т отика третьего порядка. Изв естно, чтоω ³_ϕ нельзя заменить ни наω ⁴_ϕ , ни на ω⁴. Таким образом, приведенная оценка точна в некотором смы сле. В качестве следст вия установлена эквивал ентность соотношений

$$E_n (f) = O(n^{ - \alpha } )\user2{}E_n^{(0)} (f,r) = O(n^{ - \alpha } )\user2{}0< \alpha< 3.$$