Analysis Mathematica

, Volume 5, Issue 3, pp 235–247 | Cite as

Two inequalities for pseudo-differential operators

  • Per Sjölin
Article

Два неравенства для п севдодифференциаль ных операторов

Abstract

Изучается ограничен ность псевдодиффере нциальных операторов на\(L^2 (R^n )\) и на пр остранствах Харди в\(R^n \). Пусть\(D_k = \{ \xi \in R^n :2^{k - 1} \leqq \left| \xi \right|< 2^k \} , k = 1,2,3, \ldots ,\) и\(D_0 = \{ \xi \in R^n :\left| \xi \right|< 1\} \). Псевдодиффер енциальный операторP с символом p определяется соотно шением
$$Pf(x) = \int\limits_{R^n } {e^{ix \cdot \xi } p(x,\xi )\hat f(\xi )d\xi ,x \in R^n .} $$
Будем говорить, что p пр инадлежит классу\(\bar S_{\varrho ,} {}_\delta (M,N), 0 \leqq \delta ,\varrho \leqq 1\), ес ли
$$\left| {D_x^a p(x,\xi )} \right| \leqq C_a (1 + \left| \xi \right|)^{\delta \left| a \right|} , x,\xi \in R^n ,\left| a \right| \leqq M,$$
и
$$\int\limits_{D_k } {\left| {D_x^a D_\xi ^\beta p(x,\xi )} \right|d\xi \leqq C_{a\beta } 2^{kn} 2^{k(\delta |a| - \varrho |\beta |)} , x} \in R^n , k = 0,1,2, \ldots ;|a| \leqq M, |\beta | \leqq N.$$
Изучаются условия, ко торым должны удовлет ворять ϱ. δ,M иN, чтобы для каждого символа\(p \in \bar S_\varrho , {}_\delta (M,N)\) соответствующий оп ераторP был ограниче н на\(L^2 (R^n )\). Далее, пусть\(p \in S_\varrho , {}_\delta \), если дл я всех мультииндексо в а и β выполнено условие
$$|D_x^a D_\xi ^\beta p(x,\xi )| \leqq C_{a\beta } (1 + |\xi |)^{\delta |\alpha | - \varrho |\beta |} , x,\xi \in R^n .$$
Доказывается, что при 0≦δ<1 операторP отображ ает пространство Харди\(H^p (R^n )\) в локальное пространство Харди ℋ p , если символp принадл ежит классуS1, δ.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    R. Beals andC. Fefferman, Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators. I,Comm. Pure Appl. Math.,27 (1974), 1–24.Google Scholar
  2. [2]
    A. P. Calderón andR. Vaillancourt, On the boundedness of pseudo-differential operators,J. Math. Soc. Japan,23 (1971), 374–378.Google Scholar
  3. [3]
    A. P. Calderón andR. Vaillancourt, A class of bounded pseudo-differential operators,Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,69 (1972), 1185–1187.Google Scholar
  4. [4]
    A. G. Childs, OnL 2-boundedness of pseudo-differential operators,Proc. Amer. Math. Soc.,61 (2) (1976), 252–254.Google Scholar
  5. [5]
    C.-H. Ching, Pseudo-differential operators with nonregular symbols,J. Differential Equations,11 (1972), 436–447.Google Scholar
  6. [6]
    H. O. Cordes, On compactness of commutators of multiplications and convolutions and boundedness of pseudo-differential operators,J. Functional Analysis,18 (1975), 115–131.CrossRefGoogle Scholar
  7. [7]
    C. Fefferman andE. M. Stein,H p spaces of several variables,Acta Math.,129 (1972), 137–193.Google Scholar
  8. [8]
    L. Hörmander, Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations,Proc. of Symposia in Pure Math.,10 (1967), 138–183.Google Scholar
  9. [9]
    L. Hörmander, On theL 2 continuity of pseudo-differential operators,Comm. Pure Appl. Math.,24 (1971), 529–535.Google Scholar
  10. [10]
    R. Illner, A class ofH p-bounded pseudo-differential operators,Proc. Amer. Math. Soc.,51 (2) (1975), 347–355.Google Scholar
  11. [11]
    Y.Meyer,H p estimates for pseudo-differential operators, Institut Mittag-Leffler, Report No. 1, 1977.Google Scholar
  12. [12]
    J. Peetre, Classes de Hardy sur les variétés,C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B,280 (1975), 439–441.Google Scholar

Copyright information

© Akadémiai Kiadó 1979

Authors and Affiliations

  • Per Sjölin
    • 1
  1. 1.Department of MathematicsStockholm UniversitySweden

Personalised recommendations