Analysis Mathematica

, Volume 3, Issue 2, pp 131–139 | Cite as

Maximal inequalities for not necessarily orthogonal random variables and some applications

  • Á. Somogyi
Article

Keywords

Maximal Inequality Orthogonal Random Variable 

Максимальные нераве нства для не обязател ьно ортогональных случа йных величин и их прил ожения

Abstract

Статья посвящена обо бщению неравенства Меньшова-Радемахера.

Условие ортогональн ости заменяется усло вием (4), т.е. предполагается, что с уществует функционалh, зависящ ий от совместного рас пределения случайных величинX m+1 , Х m+2 ,..., Х m+n , который субаддити вен в смысле условия (5) и удовлетворяет услов ию (4). Из этих допущений выводится неравенство вида (6). В ч астном случае Ф(х)=¦х¦p(р≧1) в нер авенстве (6) мы имеемB Φ (y)=y p .

Во второй части стать и из указанных нераве нств выводятся некоторые усиленные законы больших чисел. Типичн ым результатом являе тся следующий.

Пусть р>1 и x1, Х2,... —после довательность случа йных величин. Если для всех m≧0, n≧1 выполнены неравенс тва
$$E\left( {\left| {\mathop \Sigma \limits_{i = m + 1}^{m + n} X_i } \right|^p } \right) \leqq h(F_{m,n} )$$
где функционал h(F m,n )удо влетворяет условию (5) u
$$h(F_{0,n} ) = O\left( {\frac{{n^p }}{{(\log n)^{p + 1} (\log \log n)^2 }}} \right)(n \to \infty )$$
,
mo
$$P(S_n /n \to 0) = 1$$
.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    G. Bennett, Unconditional convergence and almost everywhere convergence,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete,34 (1976), 135–155.CrossRefGoogle Scholar
  2. [2]
    P. Billingsley,Convergence of probability measures, Wiley (New York, 1968).Google Scholar
  3. [3]
    A. M. Garsia, On a convex function inequality for martingales,Ann. Probability,1 (1973), 171–174.Google Scholar
  4. [4]
    E. G. Kounias, A note on the Rademacher's inequality,Acta Math. Acad. Sci Hungar.,21 (1970), 447–448.CrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    J.Mogyoródi, Probability inequalities for the partial sums of random variables,Math. Nachr. (1976, submitted).Google Scholar
  6. [6]
    J.Mogyoródi, On an inequality of Marcinkiewicz and Zygmund,Publ. Math. Debrecen (1976, submitted).Google Scholar
  7. [7]
    F. Móricz, Moment inequalities and the strong laws of large numbers,Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete,35 (1976), 299–314.CrossRefGoogle Scholar
  8. [8]
    P. Révész,The laws of large numbers, Academic Press (New York, 1968).Google Scholar
  9. [9]
    R. J. Serfling, Moment inequalities for the maximum cumulative sum,Ann. Math. Statist.,41 (1970), 1227–1234.Google Scholar
  10. [10]
    R. J. Serfling, Convergence properties of Sn under moment restrictions,Ann. Math. Statist.,41 (1970), 1235–1248.Google Scholar

Copyright information

© Akadémiai Kiadó 1977

Authors and Affiliations

  • Á. Somogyi
    • 1
  1. 1.Department of MathematicsEötvös Loránd UniversityBudapestHungary

Personalised recommendations