Analysis Mathematica

, Volume 4, Issue 1, pp 17–26 | Cite as

On signum type orthonormal systems

Article
  • 17 Downloads

Keywords

Signum Type Orthonormal System 

Об ортонормированны х системах типа сигну м

Abstract

Доказываются две тео ремы В которых для класса ортонормированных с истем типа сиг-нум устанавливаются те ж е свойства сходимост и, что и для класса всех ортонорм ированных систем.

Теорема 1.Ряд Σс n φ п с з аданными коэффициен тами {с п тогда и талька то гда является безусловно сходящим ся почти всюду для все х ортонормированных с истем типасигнум (опр еделен-ных на (0,1)), когда выполнено у словие
$$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \left[ {\mathop \sum \limits_{n = 2^{2^k } + 1}^{2^{2^{k + 1} } } (c_n^* )^2 \log ^2 n} \right]^{1/2}< \infty $$
, где с n * — невозрастающ ая перестановка последовательности { сn¦.

Для класса равномерн о ограниченных ортонормированных с истем это утверждени е было установлено К. Тандор и [7].

Теорема 2.Если 0<λ1λ2≦ ... —последовательнос ть чисел, для которой Σλ n −1 =∞,то существует такая орт онормированная сист ема типа сигнум {φ n } (определе нная на (0,1)), что почти всюду на (0,1)

Для ортонормированн ых систем не типа сигн ум это утверждение было док азано в [6] (теорема X).

Приведенные результ аты дают ответ на вопр осы, поставленные Тандор и ([6], [7]).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    G. Alexits,Convergence problems of orthogonal series, Pergamon Press (Oxford, 1961).Google Scholar
  2. [2]
    G. H.Hardy, J. E.Littlewood, and G.Pólya,Inequalities (Cambridge, 1934).Google Scholar
  3. [3]
    B. S. Kašin, On Weyl's multipliers for almost everywhere convergence of orthogonal series,Analysis Math.,2 (1976), 249–266.Google Scholar
  4. [4]
    A. N. Kolmogoroff, Über das Gesetz des iterierten Logarithmus,Math. Ann.,101 (1929), 124–136.CrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    D. E. Menchoff, Sur les séries des fonctions orthogonales bornées dans leur ensemble,Recueil Math. Moscou (Mat. Sbornik),3 (1938), 103–120.Google Scholar
  6. [6]
    K. Tandori, Über die orthogonalen Funktionen. I,Acta Sci. Math. (Szeged),18 (1957), 57–130.Google Scholar
  7. [7]
    K. Tandori, Über die unbedingte Konvergenz der Orthogonalreihen,Acta Sci. Math. (Szeged),32 (1971), 11–40.Google Scholar
  8. [8]
    K. Tandori, Einfacher Beweis eines Satzes von B. S. Kašin,Acta Sci. Math. (Szeged),39 (1977), 175–178.Google Scholar
  9. [9]
    K.Tandori, Über beschränkte orthonormierte Systeme,Acta Math. Acad. Sci. Hungar. (to appear).Google Scholar

Copyright information

© Akadémiai Kiadó 1978

Authors and Affiliations

  • I. Joó
    • 1
  1. 1.Bolyai InstituteSzegedHungary

Personalised recommendations