Advertisement

Analysis Mathematica

, Volume 4, Issue 1, pp 17–26 | Cite as

On signum type orthonormal systems

Article
  • 17 Downloads

Keywords

Signum Type Orthonormal System 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Об ортонормированны х системах типа сигну м

Abstract

Доказываются две тео ремы В которых для класса ортонормированных с истем типа сиг-нум устанавливаются те ж е свойства сходимост и, что и для класса всех ортонорм ированных систем.

Теорема 1.Ряд Σс n φ п с з аданными коэффициен тами {с п тогда и талька то гда является безусловно сходящим ся почти всюду для все х ортонормированных с истем типасигнум (опр еделен-ных на (0,1)), когда выполнено у словие
$$\mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty \left[ {\mathop \sum \limits_{n = 2^{2^k } + 1}^{2^{2^{k + 1} } } (c_n^* )^2 \log ^2 n} \right]^{1/2}< \infty $$
, где с n * — невозрастающ ая перестановка последовательности { сn¦.

Для класса равномерн о ограниченных ортонормированных с истем это утверждени е было установлено К. Тандор и [7].

Теорема 2.Если 0<λ1λ2≦ ... —последовательнос ть чисел, для которой Σλ n −1 =∞,то существует такая орт онормированная сист ема типа сигнум {φ n } (определе нная на (0,1)), что почти всюду на (0,1)

Для ортонормированн ых систем не типа сигн ум это утверждение было док азано в [6] (теорема X).

Приведенные результ аты дают ответ на вопр осы, поставленные Тандор и ([6], [7]).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    G. Alexits,Convergence problems of orthogonal series, Pergamon Press (Oxford, 1961).Google Scholar
  2. [2]
    G. H.Hardy, J. E.Littlewood, and G.Pólya,Inequalities (Cambridge, 1934).Google Scholar
  3. [3]
    B. S. Kašin, On Weyl's multipliers for almost everywhere convergence of orthogonal series,Analysis Math.,2 (1976), 249–266.Google Scholar
  4. [4]
    A. N. Kolmogoroff, Über das Gesetz des iterierten Logarithmus,Math. Ann.,101 (1929), 124–136.CrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    D. E. Menchoff, Sur les séries des fonctions orthogonales bornées dans leur ensemble,Recueil Math. Moscou (Mat. Sbornik),3 (1938), 103–120.Google Scholar
  6. [6]
    K. Tandori, Über die orthogonalen Funktionen. I,Acta Sci. Math. (Szeged),18 (1957), 57–130.Google Scholar
  7. [7]
    K. Tandori, Über die unbedingte Konvergenz der Orthogonalreihen,Acta Sci. Math. (Szeged),32 (1971), 11–40.Google Scholar
  8. [8]
    K. Tandori, Einfacher Beweis eines Satzes von B. S. Kašin,Acta Sci. Math. (Szeged),39 (1977), 175–178.Google Scholar
  9. [9]
    K.Tandori, Über beschränkte orthonormierte Systeme,Acta Math. Acad. Sci. Hungar. (to appear).Google Scholar

Copyright information

© Akadémiai Kiadó 1978

Authors and Affiliations

  • I. Joó
    • 1
  1. 1.Bolyai InstituteSzegedHungary

Personalised recommendations