Sequential algorithms of optimal order global error for the uniform recovery of functions with monotone (r-1) derivatives

Abstract

В работе на конкретно м примере устанавлив ается превосходство после довательных алгоритмов над пасси вными. Именно, описан последовательный ал горитм для выбораN узлов (т.е.N (ε, x, K ⁰)≦N точек и змерения неизвестно й функцииx∈K ⁰) для равном ерного приближения с заданн ой глобальной погреш ностьюε, на отрезке [0,1] на классеK ⁰ ф ункций с ограниченными и мон отонными (R−1)-ыми произ водными. Доказано, что для любо гоx изK ⁰ для упомянуто го алгоритма,

$$N(\varepsilon ,x,K^0 ) \leqq \left\{ {\frac{{(x^{(R - 1)} (b) - x^{(R - 1)} (a))(b - a)^{(R - 1)} }}{g}} \right\}^{(1/R)} g_R $$

где величинаg _R зависи т лишь отR и отK ⁰.

С другой стороны, дока зано, что глобальная п огрешность любого пассивного ме тода (т.е. при выборе сразу вс ей системы узлов) имее т порядок (R− 1): для любогоN иt ₁,...,t _N ∈ ∈[0,1] существуют две фун кциих ₁,х ₂ с монотонн ыми (R−1)-ыми производными, удовле т-воряющими условию ¦x ^R −1¦≦M, гдеМ — произвольное фиксированное полож ительное число, такие, что

$$x_1 (t_i ) = x_2 (t_i ),i = 1,...,N,\left\| {x - y} \right\|_{C[0,1]} \geqq h_R N^{ - R + 1} $$

, где константаh _R завис ит лишь отR иM.

По-новому освещаются некоторые свойства б азисных сплайн-функций, (напри мер, их положительность) опи саны общие методы кон струкции и оценки последовател ьных алгорит-мов для основных задач те ории аппроксимации (к вадратуры, дифференцирования) ф ункций с (полу) ограниченнымиR-ыми производными и п ри неточных измеренияхN значений этих функций.