On the zero distribution of the Riesz transforms of power series

Abstract

Рассматривается последовательность преобразований Рисс а степенного ряда

$$f(z) = \sum\limits_{v = 0}^\infty {\alpha _v z^n } ,$$

задаваемая формулой

$$\sigma _n (z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\textstyle{{Pk} \over {P_n }}}s_k (z)} ,$$

гдеs _k (z) — частная сумма порядкаk рядаf, a {p _k } — комплексная послед овательность, для которой

$$P_n = \sum\limits_{k = 0}^n {p_k \ne 0, n = 0,1,2,... .}$$

Показано, что число ну лей полиномовσ _n в кру ге ¦z¦ <R связано при определе нных условиях лакунарнос ти с порядком роста {σ_n} и с их сверхсходимостью.