Abstract
Пусть Ф={ϕi(х)} и Ψ={Ψi(y)} (i=1,2,...) — ортонормированн ые на конечном или бесконечном интерва ле (а, Ь) системы функци й. На квадрате (а,Ь)Х(а,Ь) расс матривается система {ϕi(x)Ψk(y))} (i, k=1, 2, ...). Дл я ряда (1.1) изучаются свойства сходимости его частных сумм по прямоугольни кам, по квадратам и по с ферам.
Максимальные нераве нства, полученные в ст атье для двух переменных, явля ются следствием соответствующих нер авенств в случае одно й переменной. Они показ ывают, что рассматрив аемые частные суммы при обы чных предположениях не только сходятся почти всюду, но и мажоранта этих ча стных сумм интегриру ема с квадратом по некотор ому прямоугольнику.
В наших результатах у тверждения (i) о сходимо сти почти всюду рядов (1.3), т.е. «нижн их углов» рядов (1.1), выполн яются при условиях ви да (1.7) для системы Ф и при единст венном условии ортонормиро ванности системы У. Ан алогично, для справедливости у тверждений (ii) о «верхних углах» (1.4) ря да (1.1), требуется выполн ение условий вида (1.8) для сис темы У и лишь ортонормиров анность системы Ф.
References
G. Alexits,Convergence problems of orthogonal series, Pergamon Press (Oxford, 1961).
P. Billard, Sur la convergence presque partout des series de Fourier—Walsh des fonctions des l'espaceL 2(0, 1),Studia Math.,28 (1967), 363–388.
L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series,Acta Math.,116 (1966), 135–157.
C. Fefferman, On the convergence of multiple Fourier series,Bull. Amer. Math. Soc.,77 (1971), 744–745.
R. A.Hunt, On the convergence of Fourier series,Orthogonal expansions and their continuous analogues (Proc. Conf. held at Southern Illinois University, Edwardsville, 1967); 235–256 (SIU Press, 1968).
Л. В. Канторович, Не которые теоремы о схо димости почти везде,Докл. АН СССР,14 (1937), 537–540.
J. Marcinkiewicz, Quelques théorèmes sur les séries orthogonales,Ann. Soc. Polon. Math.,16 (1937), 84–96.
Е. М. Никишин, Множи тели Вейля для кратны х рядов Фурье,Матем. с б.,89 (1972), 340–348.
Ш. П. Панджакидзе, Т еорема Меньшова—Рад емахера для двойных о ртогональных рядов,Сообщения АН Груз СС Р,39 (1965), 277–282.
R. J. Serfling, Moment inequalities for the maximum cumulative sum,Ann. Math. Statist.,41 (1970), 1227–1234.
P. Sjölin, An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh—Fourier series,Ark. Mat.,7 (1968), 551–570.
P. Sjölin, Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series,Ark. Mat.,9 (1971), 65–90.
K. Tandori, über die Konvergenz der Orthogonalreihen. I–II,Acta Sci. Math. (Szeged),24 (1963), 139–151, und25 (1964), 219–232.
Н. Р. Тевзадзе, О схо димости двойного ряд а Фурье функции сумми руемой с квадратом,С ообщения АН Груз ССР,58 (1970), 277–279.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Móricz, F. On the convergence of double orthogonal series. Analysis Mathematica 2, 287–304 (1976). https://doi.org/10.1007/BF01903827
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01903827