Summary
Let ξ(t) be a random process with correlation functionB 0, defining a norm ‖ ‖0, and letη 0 (ξ) be the best linear estimate of some unknown value ξ of the process ξ(t). SupposeB 0 is not known and a “pseudobest” estimateη 1 (ξ) is obtained under some hypothetic correlationB 1 giving the norm ‖ ‖1. Then, denoting by
the corresponding least square errors, the following robustness property holds true under a rather general assumption:
whereh→0 means pointwise convergence.
Zusammenfassung
ξ(t) sei ein stochastischer Prozess mit der KorrelationsfunktionB 0, die eine Norm ‖ ‖0 definiert, und es seiη 0 (ξ) der beste lineare Schätzer eines unbekannten Wertes ξ des Prozesses ξ (t). Angenommen,B 0 ist nicht bekannt, und ein „pseudobester” Schätzerη 1 (ξ) wird bestimmt unter einer hypothetischen KorrelationB 1, die die Norm ‖ ‖1, definiert. Wenn dann
die entsprechenden kleinsten Fehler bezeichnen, so gilt unter einer recht allgemeinen Voraussetzung die folgende Robustheitsaussage:
wobeih→0 die punktweise Konvergenz bedeutet.
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References
Grenander, U., andM. Rosenblatt: Statistical Analysis of Stationary Time Series, New York 1966.
Rozanov, Yu.A.: Stationary Random Processes, San Francisco 1967.
Rozanov, Yu.A.: On the stability of solutions of linear problems for stationary processes, Theory of Probability and its Applications, Vol.IX (3), 1964.
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Rehder, W. A remark on robustness of linear best estimates. Metrika 23, 1–6 (1976). https://doi.org/10.1007/BF01902844
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