Über sich nichttreffende hyperbolische Gerade

Zusammenfassung

Eine der vielen Merkwürdigkeiten der Geometrie in der hyperbolischen Ebene ist die Existenz sich weder im Eigentlichen noch im Uneigentlich en treffender Geradenpaare. Stellen wir die Geraden der hyperbolischen Ebene wie üblich durch die Orthogonalkreisbögen im „Inneren“ eines Grenzkreises der Euklidischen Ebene oder der Kugeloberfläche dar, dann erhalten wir durch „Spiegeln“ der beiden sich nichttreffenden Geraden am Grenzkreis zwei sich nichttreffende Kreise. Sie haben im Sinne der Euklidischen Geometrie zwei konjugiert komplexe Schnittpunkte auf ihrer Potenzlinie (die im Falle der Kugelschnitte mit der Schnittgeraden der zugehörigen Trägerebenen zusammenfällt) gemeinsam und schneiden sich unter einem imaginären „Winkel“. Im folgenden soll gezeigt werden, wie dieser Winkel auf einen reellen „Ersatzwinkel“ abgebildet werden kann. Aus dieser Darstellungsweise ergeben sich einige Folgerungen, die unter Beschränkung auf elementare Hilfsmittel rein anschaulich hergeleitet werden sollen.