Übersicht
Bei der Lösung der Extremalaufgabe, diejenige Aufteilung der Gesamtlast auf die einzelnen Kraftwerke zu finden, welche ein Minimum der Kohlekosten ergibt, löst man Gleichungen, die sich als notwendige Bedingungen ergeben. Im allgemeinen ergeben sich jedoch mehrere Lösungen. Da die Bedingungen notwendig sind, muß die gesuchte unter diesen Lösungen sein. Unter den übrigen Lösungen der notwendigen Bedingungen sind
-
1.
solche, welche kein relatives Minimum ergeben (Maxima, Sattelpunkte),
-
2.
solche, welche zwar ein relatives Minimum ergeben, aber nicht den Kleinstwert.
Es ist nun von praktischem Interesse, Bedingungen dafür anzugeben, unter denen wenigstens der Fall 2 eintritt. Hat man dann alle Lösungen, welche ein relatives Minimum liefern, gefunden, so muß man aus diesen nur eine herausgreifen, welche den Kleinstwert liefert. Ist diese Lösung eindeutig, so muß diese im Betrieb verwirklicht werden. Im Falle der Mehrdeutigkeit genügt es, irgendeine Lösung herauszugreifen. In diesem Falle wird man natürlich noch betriebliche Gesichtspunkte beachten und dann u. U. auch zu einer eindeutigen Lastaufteilung gelangen.
Da diese Existenz- und Eindeutigkeitsfragen der Anschauung nur schwer zugänglich sind und der Praktiker hier leicht unsicher wird, sind diese Fragen in dieser Arbeit näher untersucht worden. Die Untersuchungen beruhen im wesentlichen aufTaylor-Entwicklungen und Betrachtungen mit konvexen Funktionen und definiten Formen. Die Untersuchung zeigt, daß bei Erfülltsein gewisser Voraussetzungen, z. B. steigende Zuwachskostenkurven, die Lösungen eindeutig werden, zumindest in Bereichen, in welchen diese Bedingungen erfüllt sind. Die rechnerischen Lösungen durch Iteration und die apparativen Lösungen mit Hilfe eines Analog-Computers liefern aber glücklicherweise nur Minimallösungen. Sattelpunkte und Maxima führen zu Instabilitäten. Im allgemeinen ist das Minimum der Netzverluste nicht gleichbedeutend mit dem Minimum der Kostensumme und ist deshalb als Lösung einer echten Optimierung nicht brauchbar. Ebenso wenig kann man ein Verbundnetz aufgliedern und Teile für sich optimieren, um insgesamt ein Kostenminimum zu erhalten.
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Abbreviations
- P 1...P n :
-
Wirkleistungen dern Kraftwerke [MW]
- K i :
-
F i (P i )=absolute Kostenfunktionen [DM/h]
- f i (P i ):
-
dF i (P i )/d P i =Zuwachskostenfunktionen [DM/MWh]
- P V :
-
(Wirk-)Verlustleistung des Netzes\(\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{k = 1}^n {B_{ik} P_i P_k } \)
- B ik :
-
Verlustkoeffizienten [(MW)−1]
- Г L :
-
\(\sum\limits_{i = 1}^n {P_i - P_V } \)=Verbrauchersummenleistung
- P−(P i ):
-
Spaltenmatrix (Vektor) der Kraftwerkswirkleistungen
- B=(B ik ):
-
Matrix der Verlustkoeffizienten
- \(\tilde B\) :
-
durch Addition von\(\frac{1}{{2\lambda }}\frac{{d^2 K_i }}{{d P_1^2 }}\) in der Hauptdiagonale variierte Matrix der Verlustkoeffizienten
- \(\mathfrak{D}\) :
-
n dimensionaler Definitionsbereich der absoluten Zuwachskostenfunktionen
- \(\mathfrak{B} \subset \mathfrak{D}\) :
-
\(\mathfrak{B}\) ist Teilbereich von\(\mathfrak{D}\), in welchem gewisse Voraussetzungen erfüllt sind
- Φ(P):
-
\(\Phi \left( {P_1 ...P_n } \right) = \mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n F_i \left( {P_i } \right) - \lambda \left( {\mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n P_i - P_V - P_L } \right) = i.\) allg. konvexe Funktion dern VeränderlichenP i
- Ψ(P):
-
\(\mathop \Sigma \limits_{i = 1}^n F_i \left( {P_i } \right) + \lambda P_V = i.\) allg. konvexe Funktion derP i
- λ, χ, ψ:
-
Lagrange-Faktoren
- i, k=1...n 1 :
-
Indices dern 1 thermischen Kraftwerke
- i, k=n 1+1...n 1+n 2 :
-
Indices dern 2 Speicherkraftwerke
- L i :
-
Pro Zeiteinheit entnommene Energie oder differentielle Abnahme der potentiellen Energie des Speichers pro Zeiteinheit oder potentielle Leistung des Speicherkraftwerkes
- \(A_i = \mathop \smallint \limits_{t_1 }^{t_2 } L_i dt\) :
-
zur Verfügung stehende gespeicherte Energic im Optimierungszeitraumt 1...t 2
- P L =g(t) :
-
Belastungsfunktion
- ε α i (t):
-
Variationsfunktion
- ɛ:
-
Variations-Parameter
- μ i :
-
konstanteLagrange-Faktoren der Variationsaufgabe,i=n 1+1...n 1+n 2
- η i (P i ):
-
Wirkungsgrad des Speicherkraftwerks
- η i mot=L i (P i )/P i :
-
motorischer Wirkungsgrad
- η j gen=P i /L i (P i ):
-
generatorischer Wirkungsgrad
- \(f_i^* \left( {P_i } \right) = \mu _i \frac{{\partial L_i }}{{\partial P_i }}\) :
-
fiktive Zuwachskosten der Speicherkraftwerke,i=n 1+1...n 1+n 2
- Min (a, b):
-
kleinere der beiden Zahlena undb
- \(\lim , \overline {\lim } \) :
-
unterer bzw. oberer Limes
- Inf:
-
untere Grenze
- Sup:
-
obere Grenze
- \(\left( {P_i } \right) \in \mathfrak{D}\) :
-
heißt “Vektor derP i ist Element der Punktmenge\(\mathfrak{D}\)” (hier: Definitionsbereich)
Literatur
Haupt, O., Gg. Aumann u.Chr. Pauc: Differential- und Integralrechnung. Unter besonderer Berücksichtigung neuerer Ergebnisse, Bd. I u. II, 2. Aufl. Berlin: W. de Gruyter 1948 u. 1950.
Smirnow, W. I.: Lehrgang der Mathematik (Deutsche Übersetzung). Teil I. (Hochschulbücher für Mathematik Bd. 1.). Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1955.
Schmeidler, W.: Vorträge über Determinanten u. Matrizen mit Anwendungen in Physik und Technik. Berlin: Akademie-Verlag 1949.
Zurmühl, R.: Matrizen. 2. Auf., 1958, 3. Aufl. 1961. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1950.
Bodewig, E.: Matrix Calculus. Amsterdam: North-Holland Publishing Company 1956.
Hardy, G. H., J. E. Littlewood andG. Pólya: Inequalities. Cambridge: University Press 1952.
Bauer, H., u.H. Edelmann: Der Sielomat, ein Hilfsmittel des Lastverteilers für optimalen Kraftwerkseinsatz. Elektrizitätswirtsch. 57 (1958) H. 7, S. 173–180; H. 10, S. 301–307; H. 13, S. 389–392.
Edelmann, H.: Digitale Berechnung von Lastverteilerkurven für optimalen Verbundbetrieb auf der Siemens-Datenverarbeitungsanlage 2002. Elektron. Rechenanlagen 3 (1961) H. 1, S. 13–20. Nach Abschluß meines Manuskripts im Oktober 1958 erschien noch die folgende Arbeit über dieses Gebiet:
Theilsiefje, K.: Über hinreichende Bedingungen für ein Minimum der Brennstoffkosten im optimalen Verbundbetrieb. ETZ-A 82 (1961) S. 175–179.
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Teil I: Der rein thermische Verbundbetrieb
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Edelmann, H. Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen der Minimalaufgabe „Wirtschaftlichster Verbundbetrieb”. Archiv f. Elektrotechnik 47, 161–183 (1962). https://doi.org/10.1007/BF01844263
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01844263