Nonlinear instability of flow in a rectangular pipe with large aspect ratio

Summary

The stability of flow in a rectangular pipe with large aspect ratio can be studied by regarding the flow as a perturbation of plane Poiseuille flow. In the central region of the pipe, the disturbance has the form of a slowly modulated wave. The amplitude equation for this wave at slightly supercritical Reynolds numbers is identical with that for the unbounded flow. The regions in the vicinity of the side walls are studied and the boundary conditions for the amplitude equation at the walls are obtained. It is shown that the critical Reynolds number is only increased by a term proportional to (depth/width)², so that even moderate aspect ratios should be suitable for studying unbounded plane Poiseuille flow instability.

Résumé

Une perturbation de l'écoulement plan de Poiseuille permet d'étudier la stabilité de l'écoulement dans une conduite rectangulaire à grand rapport d'allongement. Dans la région centrale de la conduite, la perturbation se comporte comme une onde lentement modulée. L'équation donnant les amplitudes de cette onde est exactement celle de l'écoulement libre pour des nombres de Reynold légèrement au-dessus de la valeur critique. On étudie les régions voisines des parois et on obtient ainsi les conditions aux limites pour l'équation des amplitudes. On démontre que le nombre de Reynold critique n'est augmenté que d'un terme proportionnel au rapport (profondeur/largeur)². Ainsi, même de faibles rapports d'allongement conviennent à l'étude de l'instabilité de l'écoulement libre de Poiseuille dans un plan.