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Mathematische Annalen

, Volume 102, Issue 1, pp 531–543 | Cite as

begründung der projektiven Geometrie im offenen Kontinuum

  • Hans Mohrmann
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Literatur

  1. 1).
    Allgemeine Funktionentheorie, Tübingen 1882.—Vgl. auch Reye, Geometrie der Lage I, 1, 4. Aufl. (1898), S.3; “Auf die höhere Analysis, dieses mächtige Werkzeug der modernen Mathematik, müssen wir schon deshalb versichten, weil wir das Maß nicht benutzen.”Google Scholar
  2. 2).
    Vgl. Hölder, Math. Annalen65 (1908), S. 161 ff. Die (100 Seiten umfassende) Arbeit Hölders über die “Geometrie der projektiven Geraden” gibt wohl einen vollständigen Überblick über die frühere Literatur. Dabei zeigt sich die Stärke Hölders im Blick für die Schwächen seiner Vorgänger, siene Schwäche im Mangel an Blick für ihre Stärken.Google Scholar
  3. 3).
    Clebsch-Lindemann, Vorles. uber Geometrie2 (1891), Teil I, S. 433 ff.Google Scholar
  4. 4).
    Grundlagen der Geometrie, AnhangI, S. 113 der 6. Aufl.Google Scholar
  5. 5).
    Was wohl deshalb so wenig bekannt ist, weil fast immer vonden Grundlagen der Geometrie Hilberts gesprochen und nur selten beachtet wird, daß Hilbert verschiedene Eingänge in die Grundlagen gezeigt hat, keineswegs nur einen solchen, bei dem die Stetigkeitsforderungen den Schlußstein des Axiomensystems bilden.Google Scholar
  6. 6).
    Die auf die Vorstellung derIteration gegründeteanalysis infinitorum der projektiven Geometrie (unbegrenzt fortsetzbare Vierseitskonstruktionen) ist keine andere als die auf die Vorstellung dernatürlichen Zahlenreihe gegründete analysis infinitorum der reellen Zahlen.—Vgl. Weyl, Das Kontinuum, Leipzig 1918, S. 72f. Auch wenn man den Standpunkt Weyls nicht einnimmt (Fréchet, v. Kerékjártó) liegt für uns kein Grund vor, jene analysis noch einmal im geometrischen oder mengentheoretischen Gewande zu begründen.Google Scholar
  7. 7).
    Peano, Sui fondamenti di geometra, Rivista di matematica4 (1894), p. 65. E.H. Moore, Trans. of the Amer. Math. Soc.3 (1902), p. 147. F. Schur, Grundlagen der Geometrie (1909), S. 7ff.Google Scholar
  8. 8).
    Hilbert, Grundlagen, § 8.Google Scholar
  9. 9).
    Siehe hierüber mein demnächst im Verlag der “Akademischen Verlagsgesellschaft” in Leipzig erscheinendes Büchlein: Einführung in die Nicht-Euklidische Geometrie.Google Scholar
  10. 10).
    Geometrie der Lage, Nürnberg 1847.Google Scholar
  11. 11).
    Im allgemeinen zerstört Projektion das “Zwischen”—Wir brauchen die Sätze a) und b) nur in dieser engen Form.Google Scholar
  12. 12).
    Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre1, 1 (1916), S. 111 ff.Google Scholar
  13. 14).
    Annali di matematica7 (1865), S. 187.Google Scholar
  14. 15).
    Hölder (a. a. O., S. 248) nennt eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den sämtlichen Punkten einer Geradeng und den sämtlichen Punkten einer Geradeng' (die Geraden können auch koinzidieren) projektiv, wenn die Bedingung erfullt ist, daß vier harmonischen Punkten vong stets vier harmonische Punkte vong' entsprechen und umgekehrt. Hölder konstatiert ausdrucklich die Übereinstimmung seiner Definition der Projektivität mit derjenigen v. Staudts und fugt hinzu, daß die Definition durch (mehrmaliges) Projizieren fur seine Zwecke unbrauchbar sei. Da Hölder trotz den 100 Seiten, die er der “Geometrie der projektiven Geraden” widmet, keine Gelegenheit findet, zu erklären, was man unter vier harmonischen Punkten zu verstehen habe, während er auf der anderen Seite alsein Ziel seiner Arbeit die “Los-losung der projektiven Geometrie der Geraden von der Ebene” bezeichnet, so kann die Meinung entstehen, es sollten an die Stelle der v. Staudtschen Definition von vier harmonischen Punkten die hierauf bezüglichenHolderschen Axiome III bis VI treten, um so mehr, als Hölder sagt (S. 167): “Dabei ist es aber nun notwendig, daß außer den für die Gerade gültigen Axiomen der Anordnung und ... der Stetigkeit gewisse die harmonischen Punkte betreffende Tatsachen vorausgesetzt werden, die man bei einem anderen Ausgangspunkt der Untersuchung aus den Tatsachen der Ebene bzw. des Raumes beweist.”Google Scholar
  15. 16).
    Der passend spezialisierte “Pascalsche Satz” spielt bekanntlich bei der Begrundung der projektiven Geometrie mit Hilfe der Kongruenzaxiome eine wichtige Rolle; er ist dem Fundamentalsatz äquivalent. Vgl. z.B. Schur, Grundlagen, a.a.O. S. 170.Google Scholar
  16. 17).
    Siehe Hilbert, Grundlagen, § 12.—Eineangebliche Begründung der (projektiven) Geometrie mit Hilfe von Kongruenzaxiomenohne Stetigkeitsaxiom hat nur unter dieser Voraussetzung einen Sinn, d. h. die so entstehende Geometrie istunfertige, nicht etwaelementare Geometrie.Google Scholar
  17. 18).
    Vgl. Hilbert, Grundlagen, Kap. VIGoogle Scholar
  18. 19).
    Vgl. Clebsch—Lindemann a. a. O., S. 436.Google Scholar
  19. 20).
    Nur der Mathematiker, an dessen axiomatischen Gebilden noch das (den geometrischen Gebilden der Wirklichkeit eigentümliche) deiktische Begriffsmerkmal des Ausgedehntseins haftet, wittert hier das Fehlen eines weiteren (Archimedischen) Axioms: die “Linien” der “axiomatischen” Geometrie sind aber, ebenso wie diejenigen der “analytischen”, nur Mengen von Elementen, die wir Punkte oder Zahlen nennen; sonst nichts.Google Scholar
  20. 21).
    Die von Hölder a. a. O., S. 205 und Klein-Rosemann, Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie, Berlin 1928, S. 160 verwandte Formp/2n ist fur unsern Schluß durchvollständige Induktion ungeeignet.Google Scholar
  21. 22).
    Da zu diesen auch einStetigkeitsaxiom gehort (I, 7), so zählen wir es mit zu den “projektiven” Axiomen (im Gegensatz zu anderen Autoren).Google Scholar

Copyright information

© Verlag von Julius Springer 1930

Authors and Affiliations

  • Hans Mohrmann
    • 1
  1. 1.Darmstadt

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