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Mathematical systems theory

, Volume 11, Issue 1, pp 157–167 | Cite as

Non-prinicipalité du cylindre des langages à compteur

  • J. -M. Autebert
Article

Théorème

Le cylindre des langages à compteur n'est pas principal

Ce résultat n'apporte cependant pas la réponse entière à la conjecture de S. Greibach [8] sur l'AFDL des langages à compteur, mais réduit le problème à montrer que notre hiérarchie en reste une vis à vis de l'opération de “gsm mapping” inverse.

Abstract

Define a cylinder as a family of languages closed under inverse homomorphism and intersection with regular sets. This definition allows to describe as cylinders important families of context-free languages that are not semi-AFL such as the deterministic languages or the non-ambiguous languages. It is proved here that the cylinder of one-counter languages is not principal (i.e., there is no one-counter language such that all other can be generated from it under the cylinder operations).

From any counter automata withn states recognizing a one-counter languageL, a formal construction provides a one-counter languageCn and a homomorphism ϕL such thatL L -1 (Cn). So the family of allCn forn>0 generates an infinite hierarchy of cylinders and the classical argument gives the result.

This leaves open the problem raised by S. Greibach of whether or not the family of one-counter languages can be generated from a single one-counter language by inverse gsm mappings. However, the problem is reduced to proving our family of one-counter languagesCn generates a hierarchy even under gsm mappings.

Nous appelons cylindre toute famille de langages fermée pour les opérations d'homomorphisme inverse et intersection avec les langages rationnels. Combinées, ces deux opérations généralisent la notion, fondamentale dans l'étude des familles de langages, d'homomorphisme inverse grâce à un processus de contrôle d'états fini, comme le fait la notion de gsm inverse, mais de façon plutôt plus faible que celle-ci. Ainsi une réponse à la question de la principalité d'un cylindre (i.e., existe-t-il un élément de ce cylindre qui le génère en entier grâce à ces opérations ou non) peut ôtre considérée comme un premier pas vers la réponse à la question correspondante pour les gsm mappings inverses. Elle fournit en tout cas une intéressante indication sur la nature algébrique de la famille considérée.

De nombreuses familles classiques de langages algébriques (ou “context-free”) sont des cylindres: Ainsi S. Greibach montre [8] que le cylindre des langages algébriques est principal. L. Boasson et M. Nivat montrent [3] que celui des langages linéaires est non-principal. Les langages déterministes, étudiés du point de vue voisin d'AFDL dans [9] et les langages non-ambigus forment également des cylindres. On sait que la famille des langages à compteur constitue un cylindre que nous allons décrire comme union d'une hiérarchie infinie stricte de cylindres emboités, montrant ainsi le théorème:

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Copyright information

© Springer-Verlag New York Inc. 1977

Authors and Affiliations

  • J. -M. Autebert
    • 1
  1. 1.Institut de Programmation et C.N.R.S. :Laboratoire Informatique Théorique et ProgrammationUniversité Pierre et Marie CurieParisFrance

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