A dynamic multi-item two-activity problem

Summary

We consider the following “symmetric” generalization of the well-known asset-selling problem. Assume that there are two activities, each of which must be carried out a given number of times. An example is the disposal ofi andj containers of toxic waste of two different kinds. Exactly one of the activities is performed per time period. The random rewards (possibly negative) for performing the different tasks are i.i.d. and have a known two-dimensional joint distribution. In addition, there are fixed costsc, c ₁ andc ₂ (possibly negative) per period as long as activities of both kinds, or only of the first or only of the second kind must be performed. Based on a realization of the two random rewards, each period a choice must be made which of the two activities to perform such that the expected total reward becomes maximal. We show for arbitrary discount factor the existence of an optimal control limit policy with recursively computable critical numbersd _ij . Some explicitly solvable cases are presented. Under appropriate assumptions thed _ij 's are monotone ini and/orj which allows, despite a 4-dimensional state space, to represent the optimal policy by a family of 2-dimensional monotone decision regions. And then, the limits of thed _ij 's can be used to identify “large” sets of states where the optimal decision can be found without numerical computations. The basic tool is the integrated distribution function of the difference of the two rewards. The paper generalizes many of the known results on asset-selling problems without recall.

Zusammenfassung

Wir untersuchen folgende „symmetrische“ Verallgemeinerung des bekannten Hausverkaufsproblems. Ein Unternehmen betreibt zwei verschiedene Aktivitäten, von denen pro Periode genau eine ausgeführt werden muß. Für jede Aktivität ist vorgeschrieben, wie oft sie durchzuführen ist. Ein Beispiel ist die Entsorgung voni bzw.j Containern mit Giftmüll. Die zufälligen (eventuell negativen) Gewinne für die Durchführung der Aktivitäten sind unabhängig und identisch verteilt mit bekannter gemeinsamer zwei-dimensionaler Verteilung. Ferner entstehen pro Periode feste Kosten (evtl. negativ) der Höhec bzw.c ₁ bzw.c ₂, solange noch beide Arten bzw. nur die erste Art bzw. nur die zweite Art der Aktivitäten durchgeführt werden müssen. Aufgrund der Beobachtungen der beiden möglichen Gewinne muß in jeder Periode entschieden werden, welche der beiden Aktivitäten bearbeitet werden soll, damit der erwartete Gesamtgewinn maximal wird. Wir zeigen für beliebigen Diskontierungsfaktor die Existenz einer optimalen Kontrollgrenzen-Politik mit rekursiv berechenbaren kritischen Zahlend _ij . Einige explizit lösbare Fälle werden angegeben. Unter bestimmten Bedingungen sind die kritischen Zahlend _ij monoton ini und/oderj. Dies erlaubt trotz eines 4-dimensionalen Zustandsraums die Darstellung der optimalen Politik durch eine Familie 2-dimensionaler monotoner Entscheidungsregionen. Die Grenzwerte derd _ij gestatten dann die Bestimmung „großer“ Mengen von Zuständen, in denen optimale Entscheidungen ohne numerische Rechnungen gefunden werden können. Das wesentliche Hilfsmittel ist die integrierte Verteilungsfunktion der Differenz der Gewinne. Die Arbeit verallgemeinert viele bekannte Resultate über das Hausverkaufsproblem ohne Rückgriff.