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References
“Über die gleichseitig-hyperbolischen Schnitte der Flächen zweiten Grades”. Zeitschrift f. Math. u. Physik, 6. Jahrg., pag. 418 ff.
“Über das Problem, eine Fläche zweiten Grades in einem der Gestalt und Größe nach gegebenen Kegelschnitte zu schneiden”. Archiv f. Math. u. Physik, II. R., 12. Thl., pag. 185 ff.
“Elementare Bestimmung der Lage der gleichseitigen Hyperbel im Kegel.” Archiv f. Math. u. Physik, II. R., 14. Thl., pag. 139 ff.
“Traité des sections coniques”, Paris 1750, deutsch von Böckmann, Karlsruhe 1791.
Der Kegel mit dem ScheitelS und dem BasiskreiseK wird kurz mitSK bezeichnet.
Vergl. G. Weyer, a. a. O., pag. 141, wo in diesem Falle nur von zwei Systemen von Schnittebenen gesprochen wird.
Vergl. Peschka, Darst. und proj. Geometrie, III. Bd., pag. 59.
Vergl. G. Weyer, a. a. O., pag. 143, wonach α nicht unter 90° sein dürfte.
Dieser Satz, der natürlich auch für den Kegel und, was sich aus dem Folgenden ergeben wird, für die übrigen hier in Frage kommenden Flächen zweiten Grades gilt, wurde von Schlömilch am Schlusse seiner eingangs erwähnten analytischen Abhandlung angeführt; jener Kegel, bezw. seine Bestimmungselemente, wurden jedoch dort nicht näher besprochen.
Der Fall, wo die beiden reellen Halbachsenb undc miteinander vertauscht erscheinen, soll weder hier, noch in den übrigen Fällen eigens erwähnt werden, denn er ergibt nichts Neues; es erscheint nur das Hyperboloid um die imaginäre Achse um 90° gedreht.
Siehe Peschka, Darst. und proj. Geom., III. Bd., pag. 172 u. 173. Daselbst wird die Aufgabe gelöst, “durch eine gegebene Gerade eine Ebene zu führen, welche ein hyperbolisches Paraboloid in einer gleichseitigen Hyperbel schneidet”.
Beachtet man, dass der im stumpfen Winkel der beiden Richtebenen λ und μ (Fig. 5) liegende Hauptschnitt Π2 des hyperbolischen Paraboloides jener mit dem kleineren Parameterp 2 ist, so ergibt sich daraus der früher erwähnte Schlömilch'sche Satz, nach welchem “alle Ebenen, die durch einen festen Punkt gehen und ein hyperbolisches Paraboloid nach gleichseitigen Hyperbeln schneiden, einen elliptischen Kegel einhüllen, dessen Achse zum kleineren Parameter der Fläche parallel ist”. Nach dem Obigen sind die Bestimmungselemente dieses Kegels leicht zu ermitteln. Aus der Figur ist ersichtlich, dass der Punkt (A) ein Brennpunkt der BasisellipseE des KegelsSE ist; die Excentricität der EllipseE ist somit gleich der Höheh des Kegels. Der bei jeder der besprochenen Flächen zweiten Grades erwähnte Hilfskegel kann bei der Lösung der Aufgabe, durch eine gegebene Gerade Ebenen zu legen, welche eine gegebene Fläche zweiten Grades nach gleichseitigen Hyperbeln schneiden (die Möglichkeit solcher Schnitte vorausgesetzt), mit Vortheil benützt werden, indem man irgend einen Punkt dieser Geraden als Scheitel des Kegels wählt. Nach der Anzahl der Tangententialebenen, welche durch die Gerade an den Kegel gelegt werden können, (je nachdem die Gerade außerhalb, auf oder innerhalb der Kegelfläche liegt) hat die genannte Aufgabe zwei, eine oder keine Lösungen.
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Schober, K. Über die Construction der gleichseitig-hyperbolischen Schnitte der Flächen zweiten Grades. Monatsh. f. Mathematik und Physik 7, 111–128 (1896). https://doi.org/10.1007/BF01708483
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