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Zur Theorie der zweiten Variation einfacher Integrale

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Literatur

  1. G. v. Escherich. Die zweite Variation der einfachen Integrale. Mitth. I, II, III Sitzungsber. der k. Akademie der Wissenschaften in Wien. Bd. CVII. Abth. IIa; Mitth. IV ebenda Bd. CVIII. Abth. IIa; zusammengefasst und erweitert in Mitth. V ebenda Bd. CX. Abth. IIa. Sie werden hier kurz als Mitth. I etc. citiert.

  2. Im Sinne, in dem Osgood in Math. Encykl. II B1 pag. 9 diesen Ausdruck gebraucht.

  3. Für μ=0 reduciert sich dieses Problem auf das von G. v. Escherich ausführlich behandelte.

  4. Siehe I. Mittheilung, pag. 24 ff. (Die Seitenzahlen beziehen sich immer auf die Separatabdrücke.)

  5. Als Lösungen eines Normalsystemes von Differentialgleichungen; siehe G. v. Escherich, Sitzungsberichte der Wiener Akademie. Bd. CVIII.

  6. V. Mitth. pag. 10 ff.

  7. V. Mitth. pag. 14.

  8. Daraus folgt auch das Bestehen dieser Relationen für (i=1,2,...,μ).

  9. II. Mitth. pag. 12 ff.

  10. Es folgt dies füri≠0 aus der Darstellung dieser Größen als Lösungen eines Normalsystemes von Differentialgleichungen, etwa mit Hilfe von Picard's Methode der successiven Approximationen. Vgl. Mitth. I, pag. 10. Für diez 0 undz0 ist es evident, day 0 als unabhängige Variable auch von den Integrations-constanten nicht abhängt.

  11. Der Unterschied zwischen dieser Formel und der in Mitth. V, § 6 angegebenen, rührt von der verschiedenen Wahl der Anfangswerte her.

  12. Mitth. I, §. 10, Mitth. V, § 7.

  13. Mitth. V. § 10.

  14. Mitth. V., § 13.

  15. Die Existenz solcher Curven setzen wir voraus.

  16. Wir setzen also voraus, dass die Bedingungsgleichungen durch das erste Glied ihrer Taylorschen Entwicklung ersetzt werden können.

  17. V. Mitth. § 15.

  18. III. Mitth. § 17, Seite 6 ff.

  19. Siehe § 7, Seite 32.

  20. Da bekanntlich eine in irgend einem Intervalle zwischen Lösungen einer Differentialgleichung bestehende lineare Abhängigkeit im ganzen Regularitätsgebiet der Gleichung gilt, kann eine anormale Lösung nicht in eine besondere übergehen, oder umgekehrt.

  21. Mit Hilfe des bei der Transformation der zweiten Variation angewendeten Verfahrens kann man zeigen, dass analoge Formeln gelten für jedes Intervall, in dem nicht sämmtliche Determinanten aus der Matrix von ((u, ρ)) gleichzeitig verschwinden.

  22. Mitth. V. § 21.

  23. Oder eine Summe solcher Ausdrücke.

  24. Offenbar kann weder dieses Integral, noch das auf der vorigen Seite angeführte verschwinden. Es könnte dies nur eintreten, wenn dieu Glieder einer anormalen Lösung wären (§ 10, 1), was aber durch unsere Voraussetzungen ausgeschlossen ist (§ 10, 2).

  25. Vgl. Clebsch. Crelles Journal. Band 56, pag. 343; G. v. Escherich, Mitth. II., pag. 43 ff.

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Hahn, H. Zur Theorie der zweiten Variation einfacher Integrale. Monatsh. f. Mathematik und Physik 14, 3–57 (1903). https://doi.org/10.1007/BF01706857

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