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Literatur
Über die Ergebnisse dieser Untersuchung habe ich vor einigen Monaten im «mathematischen Kränzchen» in Prag berichtet. Zu dieser Arbeit wurde ich durch die Vorträge meines geehrten Lehrers E. Müller in Wien angeregt.
Ein nullteiliger Kreis ist ein Kreis mit reellem Mittelpunkt und rein imaginärem Radiusx i. Die Bezeichnung stammt von Felix Klein. Geometrisch ist ein solcher Kreis durch eine Antipolarität (Polarität an dem Kreise (m, r) und darauffolgende Spiegelung anm darstellbar. Der Kreis (m, ri) wird durch seinen rellen Vertreter (den Kreism, r) dargestellt, indem man letzteren ausdrücklich als reellen Vertreter eines nullteiligen Kreises bezeichnet.
Chr. v. Staudt hat bekanntlich die Paare konjugiert imaginärer Punkte auf elliptische, mit Durchlaufungssinn versehene Involutionen abgebildet, die er durch einen «harmonischen Wurf» darstellte, Paulus (s. Schoenfließ' Enzyklopädieartikel) stellt eine solche Involution durch jenes reelle Involutionspaar dar, das unter allen die kleinste Strecke begrenzt, Laguerre verwendet das reelle Punktepaar der mit der Involution perspektiv liegenden Minimalgeraden. Dieses Punktepaar wird — ebenso wie das von Paulus verwendete — das Paar der reellen Vertreter im Laguerre'schen Sinne genannt. E. Study und W. Blaschke nennen das von Paulus verwendete Punktepaar das «zweite Bild», das von Laguerre angegebene das «erste Bild» des Paares konjugiert imaginärer Punkte. Ein Paar geht in das andere durch Drehung um 90° um den Mittelpunkt der von dem Paar begrenzten Strecke über (Schwenkungsprozeß). In den von den beiden Autoren veröffentlichten Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie werden die «Bilder» algebraischer Kurven, die sich als Verwandtschaften ergeben, untersucht und daselbst Resultate von großer Allgemeinheit mitgeteilt.
Bezüglich der Beweise dieser Sätze siehe K. Mack «Die stereographische Projektion eines nullteiligen Kreises», Monatshefte Math. Phys., XXV, 1914.
Die Beweise werden zum Teile in sehr abgekürzter Form wiedergegeben.
Q x ist also felddual zur projektiven Verallgemeinerung der Inversion.
Ein einfacher synthetischer Beweis hierfür folgt weiter unten.
Dieser Satz ließe sich verallgemeinern.
Schröter, Kegelschnitte, 286 u. 289.
Siehe Sturm. Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Leipzig, 1908, 1. Band, p. 288.
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Mack, K. Zur stereographischen Projektion imaginärer Gebilde. Monatsh. f. Mathematik und Physik 33, 18–30 (1923). https://doi.org/10.1007/BF01705587
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01705587