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Literarur
Wenn eine einzige Großsehne der Richtung ρ vorhanden ist, so ist sie also zugleich derG-Durchmesser. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß dies für jede Richtung zutrifft, ist: ℜ darf keine parallelen geraden Stücke haben.
Ihre Innenrichtungen können entgegengesetzt sein. Für eine EckeE des Randes rechnen wir alle Geraden durchE zu den Normalen, die auf einer Stützgeraden durchE senkrecht stehen. Die Bedingung dafür, daß alle Normalen in das Innere vonB eindringen, ist: Alle etwaigen Ecken des Randes müssen stumpf sein.
Beispiele: Eine Seite eines spitzwinkligen Dreiecks, wenn die Richtung ρ mit ihr zusammenfällt; ebenso die Basis eines Halbkreises.
Will man dies ausschließen, so genügt es, entweder vorauszusetzen, daß der Rand keine geraden Stücke hat oder daß alle seine etwaigen Ecken stumpf sind. Beide Bedingungen sind nur hinreichend, nicht notwendig, wie das Beispiel zeigt: Man füge zu einem gleichseitigen Dreieck einen Halbkreis hinzu.
Damit ist nicht gesagt, daß α mit dem Wert −π/2 beginnt; das braucht nicht der Fall zu sein, wenn auf derY-Achse Ecken vonB vorkommen. Das Wort “monoton” gebrauchen wir stets so, daß zeitweilige Konstanz nicht ausgeschlossen ist.
Hierüber vgl. etwa W. Blaschke, Kreis und Kugel, 1916, S. 44.
Nur wennF 1 ein Rechteck wäre, müßte man das Gleichheitszeichen schreiben. Aber dann wäre (9) unmittelbar klar.
D. h. eine Sehne, die in das Innere vonB eindringt (um das Teilungsverhältnis Null auszuschließen).
Zwar wird, wenn diese eine eigentliche Strecke σ mit ℜ gemein hat, durch die Gleichung für λ in Nr.2 (α=0) die Länge σ nicht mitgezählt, während sie in der Definition vonL 1 mitzuzählen ist. Aber dieser Umstand verstärkt den obigen Schluß.
Ferner können nicht beide Funktionen vonx fortwährend zugleich konstant sein, außer im Fall der ganze Teil des Bereiches, der links vonS liegt, ein Rechteck ist. Dieser Fall ist in der Tat bei Satz 7 auszuschließen. Aber beim Rechteck leuchtet der zu beweisende Satz 9 unmittelbar ein.
Der Satz gilt vermutlich auch ohne diese Einschränkung; aber auch wenn es nicht der Fall wäre, könnte man einen “V-Durchmesser” eindeutig als Mittellinie des Streifens zwischen den äußerstenV-Sehnen definieren. Obige Bedingung ist z. B. erfüllt: Bei Bereichen konstanter Breite für eine beliebige Richtung; bei Bereichen mit einer Symmetrieachse für die Richtung dieser Achse und für die hiezu senkrechte.
Auch wenn mehrere möglich wären, könnte man einen “∑ i -Durchmesser” eindeutig als Mittellinie des Streifens zwischen den äußersten ∑ i -Sehnen definieren.
Oder gar nicht, was im oben erwähnten Fall der zwei Ecken eintreten kann.
Natürlich kann sich dieser Satz mitunter auch in der Weise erfüllen, daß alle drei Durchmesser zusammenfallen.
Wir zählen entgegengesetzte Anordnungen nicht als verschieden, weil sie sich nur durch den Standpunkt der Betrachtung unterscheiden.
Eine andere Frage ist, wie viele Anordnungen verwirklicht sind, wenn man alle möglichen Bereiche zugleich betrachtet. Der Satz 4 macht es wahrscheinlich, daß auch da noch bei manchen Durchmesserarten gewisse Beschränkungen vorhanden sind.
Die Hauptsehnen, die also das Maximum der Länge unter allen Sehnen vonB haben, werden in neuerer Zeit häufig “Durchmesser” schlechtweg genannt, was leider nicht im Einklang mit alteingebürgerten Bezeichnungen steht (“Konjugierte Durchmesser” einer Ellipse !). Deshalb schlage ich das ebenso kurze “Hauptsehne” vor.
Die folgende Umkehrung dieses Satzes “Die Stützgeraden in den Endpunkten einer Hauptsehne sind zu ibr senkrecht” ist unrichtig, wenn in den Endpunkten Ecken liegen.
Natürlich ist es dadurch nicht ausgeschlossen, daß einer oder sogar beide Endpunkte der Nebensehne Ecken sind. Nur müssen im letzteren Fall beide parallelen Stützlinien Halbtangenten in den Ecken sein. Ein Beispiel dafür erhält man, wenn man eine Ellipse mit den Halbachsena undb, wobeia≧2b ist, durch die kleine Achse in zwei Stücke teilt. Der Satz ist auch in Gleichungen enthalten, die in C. Jordan et R. Fiedler, Contribution à l'étude des courbes convexes fermées, Paris 1912 (S. 36) vorkommen. Aber dort ist vorausgesetzt, daß der Rand ein Krümmungsmaß habe, wovon der Satz selbst, wie man hier sieht, unabhängig ist. Ich werde dieses Werk künftig mit “J. und F.” zitieren.
Natürlich brauchen nicht alle diese Kurven vorhanden zu sein; vgl. unterd).
Über Kurven ohne Wendepunkte, München 1889.
Dies sei die gemeinsame Bezeichnung für Wendepunkte und Spitzen; s. Sitzungsb. Ak. Wien 127, IIa (1918), S. 876.
Z. B. besteht dieG-Evolute eines Reuleaux-Dreiecks Δ als Punktgebilde aus einem geradlinigen Dreieck, das mit Δ die Ecken gemein hat; als Strahlengebilde aus drei Teilstrahlenbüscheln von je 60°.
Die Länge der Bögen stört nämlich nicht, nachdem der längere 5/18.A 1B1π beträgt.
Bisher hatten wir es nämlich nur mit Flächen der Bereiche, mit Halbtangenten und Längen seiner Ränder, mit Schwerpunkten zu tun, die bei konvexen Bereichen immer vorhanden sind; vgl. etwa H. Brunn, Diss. München 1887, S. 3; J. Jensen, Acta math. 30 (1906), S. 190.
Wir gehen jedoch darauf nicht ein. da dieG-Evoluten schon behandelt sind: J. und F., S. 36, ebenso (S. 48) dieM-Evolute unter dem Namen Mediale. Dort (S. 37) findet man den Satz, daß einG-Durchmesser durchW 0 im Verhältnis der Krümmungshalbmesser seiner Endpunkte geteilt wird.
Dabei giebt (24) an den Sprungstellen von ρ und den Ableitungen auch beide Krün mungshalbmesser.
Vgl. A. Kneser, Math. Ann. 31 (1888), S. 509.
Vorlauf einer orientierten Tangente nenne ich, ähnlich wie es R. Mehmke bei den Kurvenbögen tut [Zeitschr. f. Math. u. Phys. 49, (1903), S. 65], die positive Halbtangente und Rücklauf die negative.
Die Linie ℜ ist nur schematisch angedeutet, da sie viel weiter draußen liegen müßte, wenn (26) erfüllt sein soll.
Natürlich gelten die Formeln (28) und (30) auch, wenn (27) und (29) nicht erfüllt sind. Nur kann es sich dann nicht um eineF-Evolute handeln.
Dies steht mit den Ergebnissen von R. Weitzenböck (Monatsh. f. Math. u. Phys. 30, 1920, S. 175) nicht im Widerspruch, indem dort ↔12 nach (12) für hinreichend großea das Vorzeichen vonD 23 erhält, das nach (11) mit dem Vorzeichen vonD 12 übereinstimmt.
Für dieG- undN-Durchmesser führt diese Frage auf die Kurven konstanter Breite; im übrigen s. auch Nr. 8.
Vgl. etwa L. Kiepert, Diff. u Integralr. I (11. Aufl.), S. 409, 450; II (10. Aufl.), S. 145. — G. Loria, Ebene Kurven, 2. Aufl. I (1910), S. 157.
Mit den Sätzen 26 und 27 steht im Einklang, daß aus (27) und (37) sich ρ=0 folgern läßt und aus (35) und (37) zunächst:b=−a, also auch wieder: ρ=0.
Über Kurven ohne Wendepunkte, München 1889. Weiter ausgestaltet ist diese Methode bei J. und F. In letzterem Werke werden manche Grundformeln (z. B. auf S. 4, 6, 39) offenbar aus (nicht mitgeteilten) Figuren abgeleitet. Man erhält sie aber auch aus den von den Zufälligkeiten der Figur unabhängigen Grundgleichungen der analytischen Geometrie rechtwinkliger Systeme. Die Gleichungen (49)–(52) finden sich dort auf S. 4, 6, 23, 48; zum Teil auch schon bei H. Brunn, a. a. O. Diss. München 1887 S. 3 S. auch A. Hurwitz, Ann. éc. norm. (3) 19, 1902.
Zwar ist die Evolute keine Eilinie, aber der Begriff desM-Durchmessers läßt sich unmittelbar auf alle Kurven übertragen, die in jeder absoluten Richtung nur zwei Tangenten haben.
Vgl. etwa R. v. Lilienthal, Vorl. über Differentialgeom. I, S. 61. Man könnte einen “A-Durchmesser” als Mittellinie des Streifens zwischen den äußersten parallelen Abweichungsachsen definieren. Bei Eilinien mit lauter elliptischen Punkten [s. P. Böhmer, Math. Ann. 60 (1905), S. 256] dreht sich die Abweichungsachse immer im selben Sinne wie die Tangente; hier gibt es daher nur zwei Abweichungsachsen derselben absoluten Richtung. Aus (55) schließt man leicht, daß die Kreise die einzigen regulären Eilinien mit konstantem Ω sind.
Über Kurven ohne Wendepunkte, München 1889, S. 56. Dort findet man den Satz: “Die Polaren zweier außerhalb eines Ovales oder zweier innerhalb eines Ovales gelegenen Punkte schneiden sich nur in einem Punkte”. Dabei wird “Oval” hier im Sinne eines beliebigen konvexen Bereiches verwendet, wie aus S. 56 oben hervorgeht. Zu dieser Fassung des Satzes ist zu bemerken: Erstens, daß statt “nur” zu setzen wäre “höchstens” (denn die Berührungspunkte der Tangenten aus den zwei Punkten an ℜ brauchen sich nicht zu trennen), daß aber dann zweitens die Einschränkung auf Ränder mit nicht mehr als einer Strecke zu machen wäre. Denn sonst können die Polaren zweier PunkteP 1 undP 2 tatsächlich eine Strecke gemein haben, wenn ℜ selbst zwei Strecken enthält. Verlängert man diese nämlich, bis sie sich inS schneiden, und wähltP 1 undP 2 auf demselben Strahl durchS, so kann es vorkommen, daß die Polaren vonP 1 undP 2 eine eigentliche Strecke gemein haben. Da also der erwähnte Satz einer Nachprüfung bedarf, wollen wir die Theorie der Durchlinien unabhängig von der allgemeinen Theorie der Polaren vornehmen und auch, weil der einfachere Sonderfall eine einfachere Behandlung erlaubt. Die Sätze untera) finden sich, soweit sie Bereiche mit streckenlosem Rande betreffen, zum Teil schon bei A. Emch, Am. J. of math. 35 (1913). Z. B. ist der Satz 34 für Eilinien und für Rhomben (auf anderem Wege) aufgestellt. Ebenso findet sich der Satz 35 zunächst unter engeren Voraussetzungen. Ebenda Am. J. of math. 37 (1915) werden dann diese Beschränkungen (nach anderen Methoden) beseitigt; jedoch bedarf die Bedingung über den Abstand paralleler Randstücke (S. 25, Mitte) einer Berichtigung.
Außer wenn ℜ eine StreckeAB der Richtung ρ oder der hiezu senkrechten enthält. Dann springt nämlich der Endpunkt der Durchlinie von der MitteM 0 dieser Strecke in einen Endpunkt, sagen wirA. Verbinden wirB mit einem NachbarpunktA 1 vonA, so führt die neue Durchlinie für die RichtungB A 1 zunächst vonA zur Mitte vonB A 1 und geht beim Grenzübergang inA M 0 über. Man kann also sagen, daß sich auch für eine solche Richtung ρ die Durchlinie stetig ändert, wenn man zu dieser je nach dem Sinn, in dem man ρ ändert, entweder die eine oder die andere Hälfte der StreckeAB hinzunimmt. Aber für den Schnitt mit der Durchlinie der anderen (senkrechten) Richtung kommt dieses Stück am Rande nicht in Betracht.
Man kann also zwei benachbarte Ecken eines eingeschriebenen Parallelogramms beliebig wählen (außer an den Endpunkten einer Großsehne). Dies sieht man auch anders leicht ein: Man trage von den Endpunkten einer Sehne, die kleiner ist als die parallelen Großsehnen, zwei gleich lange zunächst hinreichend kleine Sehnen nach derjenigen Seite ab, auf welcher sie divergieren. Verlängert man sie dann stetig usw.
Om simple cykliske Kurver, Danske Vidensk. Selsk. Skrifter, (7) 8 (1911); vgl. namentlich Fig. 1 und 9.
Vgl. H. Brunn, Diss. München, S. 31.
Beide Fälle kommen z. B. bei einer hinreichend lang gestreckten Ellipse vor.
J. und F., Contribution à l'étude des courbes convexes fermées, Paris 1912 S. 35.
Vgl. die analogen Schlüsse in meiner Arbeit “Über die viertelnden Ebenen der geschlossenen Raumkurven”, Sitzungsb. Ak. Wien, 127, IIa (1918).
Natürlich hat die Frage erst einen bestimmten Sinn, wenn mann konkrete Arten von Durchmessern auswählt; obige Formulierung ist nur eine kurze Zusammenfassung zahlreicher Einzelfragen. Ebenso sind die Fragen unter δ), ζ), η), Ω) zu verstehen. Sonderfälle obiger Frage lassen sich so fassen: Müssen oder können zwei bestimmte Durchmesserstreifen ganz außer einander liegen oder sich teilweise decken? Kann der eine den anderen in sich schließen?
Andere Arten relativer Breite ließen sich dadurch definieren, daß man die Fläche des Streifens zur Gesamtfläche vonB in Verhältnis setzt oder die Länge seines Randanteils zum ganzen Rand.
Über diesen Begriff (im Gegensatz zur “algebraischen Länge”) s. J. und F. Contribution à l'étude des courbes convexes fermées, Paris 1912, S. 9.
Ich möchte noch Nachsicht für den Umstand beanspruchen, daß ich mehr Definitionen aufgestellt habe, als dann für Sätze verwertet wurden. Aber es schien mir zweckmäßig, auch brachliegende Gebiete, wo es die Analogie nahe legte, vorläufig terminologisch abzustecken. Im III. Teil will ich zu einigen Sätzen des II. Teiles die entsprechenden bei konvexen Körpern suchen.
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Von Zindler, K. Über konvexe Gebilde. Monatsh. f. Mathematik und Physik 31, 25–56 (1921). https://doi.org/10.1007/BF01702711
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