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Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften. I

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Literatur

  1. Principia Mathematica, Vol. I–III, Cambridge 1925–1927.

  2. Die Hauptgedanken dieser Arbeit babe ich 1928 in einem Vortrag in der Warschauer Abteilung der Polnischen Mathematischen Gesellschaft skizziert; vgl. mein Autorreferat:Remarques sur les notions fondamentales de la Méthodologie des Mathématiques, Ann. de la Soc. Pol. de Math. VII (1928), C.-r. des séances de la Soc. Pol. de Math., sect. de Varsovie, an. 1928, S. 270. Etwas ausführlicher sind dieselben in der Mitteilung:Über einige fundamentalen Begriffe der Metamathematik, C.-r. de séances de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Varsovie XXIII (1930), Classe III, S. 22 entwickelt worden. Manche Berührungspunkte mit vorliegenden Ausführungen hat die Abhandlung von P. Hertz:Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme, Math. Ann 101 (1929), S. 457. Als Beispiele von konkreten Untersuchungen innerhalb spezieller Metadisziplinen, die an unten entwickelte Begriffsbildung anknüpfen, mögen die Mitteilungen: J. Łukasiewicz und A. Tarski,Untersuchungen über den Aussagenkalkül, C.-r. de séances de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Varsovie XXIII (1930), Classe III, S. 30 (unten alsUntersuchungen zitiert), sowie M. Presburger,Über die Vollständigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer Zahlen, in welchem die Addition als einzige Operation hervortritt, C.-r. du I Congrès des Math. des Pays Slaves, Varsovie 1929, angeführt werden.

  3. Vgl. insbesondereGrundzüge eines neuen Systems der Grundlagen der Mathematik, Fund. Math. XIV (1929), S. 78.

  4. Anstatt “sinnvolle Aussagen” könnte auch “regelmäßig konstruierte Aussagen” gesagt werden. Wenn ich das Wort “sinnvoll” gebrauche, so geschieht das, um meiner Übereinstimmung mit der oben erwähnten Richtung des intuitionistischen Formalismus auch äußerlich einen Ausdruck zu geben.

  5. Vgl. z. B.Untersuchungen,über den Aussagenkalkül, C.-r. de séances de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Varsovie XXIII (1930), Classe III, S. 31 (Definition 1), und S. 45 (Definition 8).

  6. Vgl. hierzuUntersuchungen, S. 32 (Definition 2), und S. 46 (Definition 9). Eine Menge heißt bekanntlich in bezug auf die gegebenen Operationen abgeschlossen, wenn jede dieser Operationen, an den Elementen der Menge ausgeführt, immer wieder die Elemente der Menge ergibt (vgl. M. Fréchet:Des familles et fonctions additives d'ensemibles abstraits, Fund. Math. IV, 1923, S. 335).

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  7. Im Falle, daß ein Beweis einleuchtet, begnüge ich mich mit einer bloßen Anführung der zu benutzenden Sätze.

  8. In meinem oben (S. 362, Fußnote) erwähnten Autorreferat habe ich den Ausdruck: “deduktives System” gebraucht, P. Hertz in seiner a. a. O. zitierten Abhandlung sagt: “abgeschlossenes System”; von E. Zermelo (Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik, Fund. Math. XIV, 1929, S. 341) wird in demselben Sinne die Wendung: “logisch abgeschlossenes System” gebraucht.

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  9. Wo eventuell π=0 ist (als eine Folge vom Typus 0 wird die “leere” Folge, die kein einziges Glied besitzt, betrachtet).

  10. Vgl.Untersuchungen, über den Aussagenkalkül, C.-r. de séances de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Varsovie XXIII (1930), Classe III, S. 42 (Satz 27).

  11. Vgl.Untersuchungen, über den Aussagenkalkül, C.-r. de séances de la Soc. des Sc. et des Lettr. de Varsovie XXIII (1930), Classe III, S. 42 (Satz 27).

  12. Vgl. z. B. A. Tarski,Sur les ensembles finis, Fundamenta Mathematicae VI, 1925, S. 48 (Définition 1).

    Google Scholar 

  13. Vgl. meine oben [Fußn.], zitierte Abhandlung, S. 49 (Définition 3).

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  14. Im Aussagenkalkül lassen sich z. B. Aussagenmengen ohne Basis leicht konstruieren.

  15. Eine derartige Disziplin, s. g. “beschränkter Aussagenkalkül”, wird inUntersuchungen, SS. 42–44 (§ 4), behandelt.

  16. E. L. Post,Introduction to a General Theory of Elementary Propositions, Am. Journ. of Math. XLIII, 1921, S. 177.

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  17. Der Vollständigkeitsbegriff kommt auch in anderer Bedeutung von, über welche Fraenkel in seinerEinleitung in die Mengenlehre (III. Aufl., Berlin 1928, § 18.4 SS. 347–354) Auskunft gibt; die hier gebrauchte Bedeutung entspricht der Fraenkelschen “Entscheidungsdefinitheit”.

  18. S. Fußn. zu S. 388 dieser Arbeit.

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  19. In der üblichen Form lautet die Definition: eine Menge heißt vollständig, wenn für jede Aussage entweder sie selbst oder ihr Negat unter den Folgerungen der Menge enthalten ist. Wie bekannt, ist das gewöhnliche System des Aussagenkalküls im Sinne des Textes vollständig, obwohl es Aussagen gibt, daß weder sie selbst noch ihre Negate dem System angehören.

  20. Vgl. hierzu, C. H. Langford:Analytic completeness of sets of postulates, Proceed. of the London Math. Soc. 25 (1926), S. 115,. undSome theorems on deducibility, Annals of Math. 28 (1927), S. 16, sowie die oben (S. 362 Fußn.) zitierten Abhandlungen von Lukasiewicz und Tarski und von Presburger.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  21. Vgl. die oben [Fußn.Einleitung in die Mengenlehre (III. Aufl., Berlin 1928, § 18. 4, SS. 347–354) zitierte Stelle aus Fraenkel.

  22. Die Untersuchungen über die absolute Vollständigkeit in einer “armen” Disziplin sind in der Regel mit denjenigen über die relative Vollständigkeit in einer umfassenderen Disziplin gleichwertig. Aus diesem Grunde können die oben [S 390, Fußn. Vgl. hierzu, C. H. Langford:Analytic completeness of sets of postulates, Proceed. of the London Math. Soc. 25 (1926), zitierten Arbeiten als Beispiele der Untersuchung über die relative Vollständigkeit betrachtet werden, wenn man sie auf eine umfassende Disziplin (z. B. auf diePrincipia Mathematica) bezieht.

  23. Über diese Begriffe berichtet Fraenkel a. a. O. [s. Fußn.Einleitung in die Mengenlehre (III. Aufl., Berlin 1928, § 18. 4, SS. 347–354) zu S. 390 dieser Arbeit], wo auch die einschlägige Literatur angegeben ist.

  24. Es wird angenommen, daß bei der Voraussetzung:A⊂S zumindest die “leere” Folge vom Typus 0 die Bedingungen (α) und (β) der Def. I. 8b (“im Vakuum”) erfüllt.

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  1. Warschau, Poland

    Alfred Tarski

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  1. Alfred Tarski
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Tarski, A. Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften. I. Monatsh. f. Mathematik und Physik 37, 361–404 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01696782

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