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Literatur
Es sind dies im allgemeinen nicht dieselben Anordnungen, wie die unter III genannten. Zwar sind fürp≦7 Anordnungen möglich, die sowohl „diagonal” (im Sinn von III) als auch symmetrisch sind; doch gilt dies—entgegen verschiedentlichen Behauptungen in der Literatur—nicht für beliebigesp; vgl. § 9, wo auf diese Anordnungen näher eingegangen wird, insbesondere Nr.49.
Wenn wir zunächstl≧p angenommen haben, so lassen sich die gemachten Aussagen, wie in Nr.9 besprochen wird, ohne weiteres aufl<p ausdehnen.
E. Betti, a. a. O. 8); Sopra le funzioni simmetriche delle radici di una equazione, Annali di mat., ser. I, t 1 (1858) O. Perron, Algebra, Band I (1927) § 29; 2. Aufl. (1932) § 31. Hiezu ist noch ein Vortrag von l'erron am 2. November 1926 im Mathematischen Kolloquium München anzuführen (vgl. Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 36, zweiter Teil, S. 95).
Diesbezüglich sei vor allem auf den Artikel I B 3 b, Rationale Funktionen der Wurzeln; symmetrische und Affektfunktionen von K. Th. Vahlen (1899) in Bd. I, erster Teil, der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften verwiesen; bezüglich Betti vgl. Anm. 8.
Das gilt auch von Cayley bezüglich seines Symmetriegesetzes. Vgl. auch eine Bemerkung von Faa de Bruno, Compt. rend de l'Acad. des Sc., t. 76 (1873) S. 163.
E. Betti, Sopra le funzioni simmetriche delle radici di una equazione, Annali di mat., ser. I, t 1 (1858)=Opere matematiche di Enrico Betti, t. I (1903) S. 174–177.
Umsomelr scheint es mir heute am Platze, besseren Kennern der ausgedehnten Literatur die Entscheidung zu überlassen, inwieweit die folgenden Zeilen über eine Darstellung von Bekanntem hinaus da und dort eine neue Wendung oder eine neue Feststellung enthalten (jedenfalls ist beispielsweise weder die Verwendung der Gradzahl bezüglich nur eines Teiles der Variablen — Nr. 12 — noch die Einführung von Betrachtungen, bei denen von Variabeln nicht mehr die Rede ist, — §§ 3 ff. — etwas Neues) und ich werde gerne bemerkenswerte Mitteilungen, die mir darüber noch zugohen sollten, nachträglich zur Kenntnis bringen. So mag bei dieser Gelegenheit auch hezüglich einer Frage über einen anderen Gegenstand, die ich in Sitz.-ber. d. Bayer Akad. d. Wiss., Jahrg. 1933 (Über die Proportionalität der aus Punktkoordinaten und der Aus Ebenenkoordinaten gebildeten Geradenkoordinaten), S. 138, Anm. 3, erwähnte, auf die Antwort hingewiesen werden, die der Referent als vorzüglicher Kenner der einschlägigen Literatur in einem Referat im Jahrbuch über die Fortschritte d Math. Bd. 59 (1933) S. 138, mitgeteilt hat, das mir-vor einiger Zeit zufällig-zo Gesicht kam.
Auf das—das Cayley-Bettische Symmetriegesetz verallgemeinernde—Symmetriegesetz von Mac Mahon wird nur gelegentlich (anm. 31, 59) hingewiesen.
Der folgende Beweis benützt die Bedeutung der ZahlenC κλ für die symmetrischen FunktionenX undY. Daß die ZahlenC κλ auch eine von diesen Funktionen und überhaupt von Variablenx 1, ...,x 1 unabhängige Bedeutung haben wird in §§ 3 ff. besprochen und I und III dann nochmals bewiesen.
Demgemäß soll im folgenden für die betrachteten Systeme ganzer Zablen (b 1, ...,b n), die den Bedingungen (11), (12) genügen, durchwegs die Festsetzung gelten, daß zwei Systeme, die durch Hinzunahme oder Weglassen von Nullen auseinander hervorgehen, als nicht verschieden anzusehen sind: (b 1, ...,b n)=(b 1, ...,b n, 0). Das Gleiche gilt insbesondere auch von den bei den Potenzprodukten (13) auftretenden Zablensystemen (a 1, ...a m).
Wobeif p=1 zu setzen ist. Für das Folgende ist die Schreibweise (13) zweckmäßiger als die Schreibweise (1).
Diese Bemerkung überträgt sich auf die Relationen (6), (9) zwischen denX undY, wo in derselben Weise durch Nullsetzen einer oder mehrerer Variablen der Übergang zu kleinereml möglich ist, ohne daß die Richtigkeit der Relationen davon betroffen wird.
Daß übrigens, für einl<p die Anzahl der verschwindenden unter denP(p) GrößenY stets gleich ist der Anzahl der verschwindenden unter denP(p) GrößenX, sei hier nur nebenbei angemerkt. Es beruht dies auf der Tatsache (vgl. diesbezüglich Anm. 39, Nr.20), daß es für irgend einl ebenso viele Zahlensysteme (a 1, ...,a m) gibt, die den Bedingungen (14), (15) unda 1.≧l+1 genügen, als es Zahlensysteme (b 1, ...,b n) gibt, die den Bedingungen (11), (12) undb l+1.≧1 genügen.
Diese Benennung geschieht in Aulehnung an jene Terminologie (vgl. Anm. 5, 8 und 15), bei der die durch (17) und (21) dargestellten „Partitionen” der Zahlp als „konjugierte Partitionen” bezeichnet werden.
Daß die Bedingung auch eine hinreichende ist, worauf wir später zu sprechen kommen (vgl. (o), Nr.41, Satz VII, Nr24), spielt hier für uns keine Rolle.
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Mit 3 Figuren im Text.
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Tietze, H. Über symmetrische Funktionen von endlich oder abzählbar unendlich vielen Veränderlichen. Monatsh. f. Mathematik und Physik 48, 487–499 (1939). https://doi.org/10.1007/BF01696202
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01696202