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Literatur
Dai, „Ricordi dettati a me Ludovico Serenai dal Sig. Vangelista Torricelli a di 14 Ottobre 1647”. „Le cose dei miei studi e mie scritture di studi di Geometria, che sono già in ordine, cioè scritte le dimostrazioni e ogni cosa di quello promesso agli amici di dimostrazioni, e se ben sono in cartucce e fogliucci, come vedrà V. S. e particolarmente sono in certe borse e quadernucci. Stanno come dico alla spezzata in queste borse e cartucce, che li mostrerò il monte: se ben dico confuse, non sono confuse affatto, perchè ogni borsa suole avere la sua materia; e li parerà qualche volta certe cartucce barone, abbia cura che non si perda nulla, e assicuri il Gran Duca che non si troverà chi le trovi più, faccino pure quanto voglino; però non scappi qualche parte, che ci farebbe de'fastidi a ritrovarle”.
A complemento di quanto sarò per dire si veda: Ettore Bortolotti, „Gli inviluppi di linee curve ed i primordi del metodo inverso delle tangenti”.—(Periodico di Matematiche;?Luglio 1921).—Ettore Bortolotti, „Le prime applicazioni del calcolo integrale alla determinazione del centro di gravità di figure geometriche” (Rend. Acc. di Bologna 1922).—Ettore Bortolotti, „La scoperta e le successive generalizzazioni di un teorema fondamentale di calcolo integrale”—(Archivio di Storia della Sc. 1924).—Ettore Bortolotti, „La memoria De infinitis hyperbolis di Torricelli” (Archivio di Storia della Scienza, 1925).—Ettore Bortolotti, „I progressi del metodo infinitesimale nell'opera geometrica di Evangelista Torricelli” (Periodico di Matem. 1928).—Ettore Bortolotti, „Le prime rettificazioni di un arco di curva nella memoria De infinitis spiralibus di Torricelli” (Rend. Acc. Sc. Bologna, 1928).—Ettore Bortolotti, „Il metodo infinitesimale nell'Opera geometrica di Evangelista Torricelli” (Atti del I0 Congresso dell'Unione Matematica Italiana 1937).
Il segno negativo si riferisce al caso iperbolico.
Cfr. lettera a B. Cavalieri del 21 Settembre 1647:—„quella dimostrazione, modo di dimostrare per gnomoni, o più tosto per supplementi fu da me inventata nel quadrare l'infinite parabole, e dopo applicata anco alla miura di quelli spazi di Robervallio...”
L'infinita dicotomia del gnomone mistilineo, sarà meglio chiarita dal testo torricelliano, che fra poco riporteremo.
Nel fatto gli indivisibili cavalierani, nel concetto di Torricelli, si compongono di due fattori: di un fattore finito (ordinata od ascissa del punto della curva) e di un fattore infinitesimo, che per l'ordinata è lo spessore dell'ascissa, e per l'ascissa, lo spessore dell'ordinata. Lo spessore dell'ordinata è l'incremento della ascissa, nel passare dal punto considerato della curva, al successivo infinitamente vicino, e lo spessore della ascissa è l'incremento della ordinata, Torricelli chiama: Linee supplementari, gli elementi d'area:KD, KA, della figura considerataKOD, e del suo supplementoKOA, rispetto al quadrante. Nel simbolismo moderno, le due linee supplementari, si esprimerebbero dunque colle formule:yds, xdy.
Cfr. p. es. Zeuthen-„Barrow le maître de Newton”. Bull. Ac. R. des Sciences de Danemark. pour l'année 1897; p. 565–606, p. 572–575,
Da notare la profondità delle superficie...
Adunque le linee del triangolo sono in sostanza striscie cioè elementi d'area compresi fra rette parallele, e gli indivisibili (punti) che esse determinano sui lati del triangolo sono elementi di retta, cioè tratticelli rettilinei, che soddisfano al teorema di Talete ed hanno rapporto determinato, eguale a quello dei lati.
Gli indivisibili del rettangolo sono striscie aventi larghezza infinitesima, le cui aree sono fra loro eguali, e poichè hanno lunghezze diseguali, le loro larghezze, benchè infinitesime hanno rapporto determinato e finito, eguale all'inverso del rapporto delle lunghezze loro.
Nella prima giornata dei „Dialoghi intorno a due nuove scienze” Galileo suppone che la figura qui accanto disegnata, giri intorno al diametro immobileC F. II triangoloC D F descriverà un cono, il rettangoloA C F D, un cilindro, ed il trilineoA I F D, un solido che Galileo chiama scodella. Un piano che si muova mantenendosi parallelo al piano della base del cono (o del cilindro) taglierà il cono secondo un cerchio di raggioHK; e la scodella secondo una corona circolare (nastro, dice Galileo) compresa fra i due cerchi di raggiGK, IK. Facilmente si prova che l'area del cerchio di raggioHK (qualunque sia la posizione del piano segante) è sempre eguale a quella del nastro corrispondente. Ora, se il piano mobile si alza fino a toccare il puntoC; vertice del cono, il cerchio degenera nello stesso puntoC, e la corona circolare in un cerchio di raggioAC,... „li quali perchè non si debbono chiamare eguali se sono le ultime reliquie, e vestigia lasciate da grandezze eguali?” Nel fatto sia il corchio che il nastro sono, in quel ragionamento, indivisibili di corpi solidi, cioè essi stessi hanno lunghezza, larghezza e spessore, infinitesimo. Al limite poi, quando il piano è giunto al puntoC, non solo hauno volume infinitesimo ma anche superficie infinitesima; ad ogni modo sono infinitesimi, ed in questa considerazione possono dirsi ancora eguali: eguali in volume, ed in area, come lo erano prima del passaggio al limite.
Torricelli considera il conoide iperbolico infinitamente lungo generato dalla, rotazione del ramo di iperboleO A B C di equazionexy=2k 2 intorno all'asintotoO Y. Dimostra che il volume di quel conoide è eguale al volume del cilindroO D E A, che ha per base il cerchio di diametroA E=4k. Giò in applicazione del metodo degli „indivisibili curvi” da lui introdotto nella Geometria cavalieriana degli indivisibili. Considera il conoide da misurare, come totalità degli involucri cilindrici, aventi per asse l'asseO Y del conoide, inscritti nel conoide medesimo: come si factora da noi nel riferimento di un solido di rivoluzione ad un sistema di coordimate cilindriche. Dimostra che tutti gli involucri cilindrici:O N M, inscritti nel conoide, hanno area ordinatamente eguale a quella del cerchio di raggioN P=2k; ed infatti se l'equazione della iperbola è espressa dalla formulaxy=2k 2, si ha per l'area dell'involucro cilindrico l'espressione 2πO N·N M=2πxy=4πk 2. Al limite, perx=0, l'involucro cilindrico degenera nell'asse del conoide, la sua lunghezza è infinita ed il raggio nullo. Ma per la conservazione delle proprietà formali. possiamo considerare, anche al limite, eguale l'area di un tale involucro cilindrico a quella del cerchioO D. Nel fatto poi, i cerchi del cilindroO A E D. sono da considerarsi come dischi di spessore infinitesino, ed anche gli involucri cilindrici, non sono superfici euclidee, ma hanno spessore infinitesimo.
Le applicate e le diametrali sono le ordinate e le ascisse.
Cfr. Opore T. III, p. 477 (Lettera a Cavalieri del 31 Agosto 1647) Cfr; anche Vol. I parte 2, p. 391–397, ed anche: Ettore Bortolotti. Le prime rettificazioni di un arco di curva nella memoria „De infinitis spiralibus” di Torricelli (Rendiconti Acc. Scienze di Bologna, a. 1927–28).
Questa lettera porta la data errata 1644, essa infatti si riferisce alla lettera del Cavalieri, più sotto citata, che è del I0 Agosto 1645, riportata a. P. 330 del medesimo volume.
Pare che Cavalieri abbia chiesto a Torricelli: Come poi si farà a calcolare quegli integrali? (quelli omnes ductus?) Torricelli infatti nella lettera 21 Aprile 1646 gli rispondeva (p. 372): „Quel Teorema di quelli omnes ductus, è fatto per Teorema, per mostrare come stà il centro in ogni figura; se poi da esso non se ne possono dedurre corollari per debolezza del nostro ingegno, pazienza.”
Crf. Opere, III, p. 383: „Habeo enim et aliam methodum, quae unica enunciatione determinat reperitque centrum gravitatis linearum, superficierum ex revolutione natarum, planorum, corporumque omnium, dummodo axem, sive diametrum habeans:—A Carcavi, p. 406, è dato anche l'enunciato.
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Bortolotti, E. L'Opera geometrica di Evangelista Torricelli. Monatsh. f. Mathematik und Physik 48, 457–486 (1939). https://doi.org/10.1007/BF01696201
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01696201