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Literatur
Ein ganzzahliges Polynom ist natürlich ein Polynom, dessen Koeffizienten ganzzahlige Vielfache des Einheitselements sind. Fürn=1 wirdD(f) die Diskriminante des Polynomsf im gewöhnlichen Sinne. Zur allgemeinen Theorie der Diskriminante für beliebigesn vgl. die Lehrbuchdarstellung bei J. König, Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Größen, Leipzig bei Teubner 1903; S. 325–346. — Vgl. ferner: L. Kronecker, Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, J. f. Math. 92 (1882), S. 1–122, § 10. Bei Kronecker werden allerings für beliebigesn nur einige Hauptsätze über die Diskriminante ohne Beweis angegeben.
Die Methode des Textes hat vor allem den Vorteil, daß sie von vornherein eine rationale Darstellung der Diskriminante liefert, während bei König (und auch bei Kronecker) die Diskriminante zunächst irrational eingeführt wird, als symmetrische Funktion in den Nullstellen eines zwar allgemeine, aber enthomogenisierten und damit einseitig normierten Gleichungssystems.
Zur Theorie der Resultante vgl. z.B.: B. L. van der Waerden, Moderne Algebra II (Grundlehren d. Math. Wiss. in Einzeldarstell., Bd. 33 (1931), § 72–79).
Vgl. Anm. 14).
Zur Dimensionstheorie der Polynomprimideale vgl. z. B. Moderne Algebra II, § 89, 90. — Der “Dimensionsdefekt” heißt bei Lasker und Macaulay “Rang”.
Die Ideale a(s) wurden zuerst von W. Schmeidler eingeführt und als “Singularitätenideale von as bezeichnet. (Math. Annalen 81 (1920) S. 223–234).
Vgl. Idealbericht Nr. 16, Moderne Algebra II, §94. — Zur Separabilitätsbemerkung vgl.: B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Geometrie XIV, Math. Annalen115 (1938) S. 619–642; § 1 Ferner: O. Haupt,-Einführung in die Algebra, Leipzig 1929; Bd. II, 23,7.
Vgl. hierzu, § 1.
Formel (12) findet sich schon in 1)—, (S. 328). Doch behauptet König irrtümlicherweise, daß auf der rechten Seite jeder irreduzible Faktor nur einmal (statt zweimal) vorkäme, und stützt auf diese Bemerkung einen nicht stichhaltigen Beweis für die Irreduzibilität der Diskriminante.
— S. 325. Ähnliche Schlüsse z. B. Moderne Algebra II, § 77.
—; S. 323 f. Die Irreduzibilität vonJ k folgt mühelos aus der Irreduzibilität der Determinante vonn allgemeinen Linearformen inn Unbestimmten.
Auf die Möglichkeit dieser einfachen Verifikation machte mich Herr E. Besselhagen aufmerksam.
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Krull, W. Funktionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehreren Unbestimmten. Monatsh. f. Mathematik und Physik 48, 353–368 (1939). https://doi.org/10.1007/BF01696191
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01696191