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Literatur
Wir wollen mit Moore (On transcendentally-transcendental functions, Math. Ann. 48) eine Funktionf(x), die einer algebraischen Differentialgleichung, d. h. einer algebraischen Gleichung zwischenx, f(x) und einer endlichen Anzahl von Ableitungen vonf(x) genügt, als algebraisch-transzendent bezeichnen, während wir eine analytische Funktion transzendental-transzendent nennen, wenn sie keine algebraische Differentialgleichung befriedigt.
Math. Ann. 28.
D. Hilbert. Mathematische Probleme. Gött. Nachr. 1900, S. 287.
Die Durchführung des Beweises gibt V. E. E. Stadigh: Ein Satz über Funktionen, die algebraische Differentialgleichungen befriedigen, und über die Eigenschaft der Funktion ξ(s), keiner solchen Gleichung zu genügen. Helsingfors, Frenckellska-Tryckeri-aktiebolayet 1902.
Hingegen ist es im allgemeinen nicht möglich, eine vorgelegte Funktionalgleichung (1) in eine andere zu transformieren, deren rechte Seite eine ganze lineare Funktion von ϕ(x) ist. Wenn nämlichC(x)≠0 ist, so kannC 1(x) dann und nur dann zu Null gemacht werden, wenn (1) eine rationale Lösung besitzt.
Wir bemerken noch, daß die identische Substitution ϕ(x)=ψ(x) unter den Substitutionen (5) nicht vorkommt; man erhält sie aber, wenn man mit einem konstanten α(x)=α zur Grenze α=∞ übergeht.
Diese Voraussetzung wird zu dem in den §§ 3, 4 enthaltenen Beweis einiger Hilfssaätze verwendet, während sie bei den Entwicklungen dieses Paragraphen nicht benötigt wird.
Diese Voraussetzung ist gleichbedeutend damit, daß die Funktionalgleichung (2) keine rationale Lösung hat.
Man überzeugt sich leicht, daß ψ(x) int(x)v s(x) v aufgehen muß.
Daß die Gleichung (25) und dann natürlich auch (24) eine Identität sein kann, wenn (2) eine rationale Lösung ϕ(x)=b(x)/a(x) hat, ist leicht zu sehen. Man braucht dann nur λ=0,P(x,y)=(a(x)y−b(x))v zu setzen.
Es bedeuteta eine von null verschiedene Konstante. Füra=0 gehtf a (x) in die längst als transzendental-transzendent bekannte Funktion 1/Γ(x) über (s. Einl.).
Es hat Professor G. v. Escherich in seinem Seminar die Vermutung ausgesprochen, daß man aus dieser Relation würde folgern können, daß die betrachtete Funktion keiner algebraischen Differentialgleichung genügen kann. Das Bestreben, dies durch den Beweis zu bestätigen, hat den Verfasser zu der vorliegenden Arbeit geführt.
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Tietze, H. Über Funktionalgleichungen, deren Lösungen keiner algebraischen Differentialgleichung genügen können. Monatsh. f. Mathematik und Physik 16, 329–364 (1905). https://doi.org/10.1007/BF01693786
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