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Literatur
Vgl. meine Arbeit: „Das Imaginäre in der Geometrie der konfokalen Flächen II.O.” (Münch. Ber. Bd. 34, 1904 p. 447), die ich im folgenden mit „Conf. Fl.” zitiere. Die vorliegende Note enthält eine nähere Ausführung und Weiterbildung der dort entwickelten Resultate, soweit sie sich auf die Theorie der Kegelschnitte im engeren Sinne beziehen.
Die meisten der folgenden Sätze lassen sich leicht auf die Parabel, bezw. das System konfokaler Paraboloide übertragen.
Unter der „Mittelebene” zweier Speere σ, τ verstehe ich die Ebene, welche durch die gemeinsame senkrechte Treffgerade beider Speere geht und mit ihnen gleiche Winkel bildet, so zwar, daß die Vertikalprojektionen derselben auf diese Ebene antitaktisch sind.
Über die Repräsentation der ∞2 Punkte dieser Geraden vgl. „Conf. Fl.” §1.
Die vier Speere, die in den Brennpunkten von\(\mathfrak{K}\) auf der Hauptebene senkrecht stehen, bilden mit den betreffenden Brennpunkten zusammen die reelle Repräsentation der vier Minimallinien, die\(\mathfrak{K}\) berühren („Conf. Fl.” Nr. 6).
Die geometrischen Eigenschaften eines solchen Quadrupels habe ich in der Arbeit „Die komplexen Bewegungen” (Lpz. Ber. 1903 p. 384, §3.) charakterisiert.
Ebenda § 1. Die geometrischen Eigenschaften eines solchen Quadrupels habe ich in der Arbeit „Die komplexen Bewegungen” (Lpz. Ber. 1903 p. 384.
„Conf. Fl.” Nr. 16.
Aus welchem also beide austreten oder in den sie beide eintreten.
Diese Sätze können auch ohne Zuhilfenahme der elliptischen Funktionen mittels der Theorie der konfokalen Flächen II.O bewiesen werden (vgl. „Conf. Fl.” § 6 und weiter unten Nr. 15).
Th. Reye (Zürich, Viert. 41 (1895), p. 68 f; Geom. der Lage, 3. Aufl. p. 181 f.); vgl. E. Müller, Jahesber. d. d. Math.-Ver. 12 (1903), p. 105.
M. Chasles, Paris, C. R. 17 (1843), p. 841.
Das Parallelogramm erscheint hier als Spezialfall des Kreisvierseits, das unendlich ferne Punktepaar als Ausartungsform des Kreises.
Vgl. zwei Sätze J. Steiners in J. f. Math. 49, p. 273–278 `erke II, p. 619 f.
Ich erwähne noch folgenden Satz: Verhalten sich die Achsen der EllipseE wie die Abschnitte einer nach dem goldenen Schnitt geteilten Strecke, und istH die dem Rechteck der Scheiteltangenten vonE um schriebene, zuE konfokale Hyperbel, so ist auch umgekehrt die EllipseE dem Viereck der Scheiteltangenten und Asymptoten vonH um schrieben, und es gibt dann sowohl ∞1 Parallelogramme, die der EllipseE um-, der HyperbelH
Vgl. die erste Anm. zu Nr. 13.
F. Dingeldey, Enz. d. math. Wiss. III C 1, Nr. 26, 27, 69
Liegt σ i in der Hauptebene, so ist unter τ i der entgegengesetzte Speer zu verstehen.
F. Dingeldey, Enz. d. math. Wiss. III C 1, Nr. 74; es ist natürlich sehr leicht, für jeden der drei Fokalkegelschnitte insbesondere die einteiligen und nullteiligen Doppelberührkreise und unter den ersteren die mit reellen und die mit imaginären Berührpunkten durch die zugehörigen doppelt zählenden Speerpaare zu charakterisieren.
Wegen der Konstruktion des Speeres τ und des Zyklus II, falls σ gegeben, vgl. “Conf. Fl” § 7.
Um den Kreis zu konstruieren, der den Kegelschnitt\(\mathfrak{K}\) in einem gegebenen komplexen PunktP oskuliert, bestimme, man zunächst mittels des als bekannt angenommenen “Pfeiles” vonP (Nr. 7) das Speerpaar (σ σ′), das die inP berührende Tangente von\(\mathfrak{K}\) repräsentiert (“Conf., Fl.” Nr. 31), dann die Schmiegungsspeere τ, τ′ der Speere, σ bezw. σ′ und die Äquatorkreise ϰ, ϰ′, der Zyklen II II′, die mit Σ bezw. die dreifach zählenden Speere σ und σ′ gemein haben (s. die vorige Anm.). Dann sind ϰ und ϰ′ die reellen Repräsentanten (Nr. 15) des gesuchten Kreises und das Speerpaar (τ τ′) definiert die zweite Tangente, die der letztere mit\(\mathfrak{K}\) gemein hat.
Vgl. die Anm. zu Nr. 10.
Da Berührung in dem Sinne verstanden wird, daß die Orientierung der Geraden und des Kreises in dem gemeinsamen Punkte übereinstimmt, so gibt es nur einen orientierten Kreis ϰ′ obiger Eigenschaft.
s. die vorige Anm.
F. Dingeldey, Enz. d. math. Wiss. III C 1, Nr. 36.
Vgl. den in gewissen Sinn dualen Satz J. Steiners, Werke II, p. 377; F. Dingeldey, Enz. math. Wiss. III C 1, Nr. 37.
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v. Weber, E. Über die Beziehungen zwischen Kegelschnitten und Kreisen und die Theorie des Imaginären. Monatsh. f. Mathematik und Physik 16, 217–229 (1905). https://doi.org/10.1007/BF01693779
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