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Literatur
Vergl. Grundlehren der neueren Geometrie. Nach Chasles's Traité de Geometrie Supérieur, deutsch von Schnuse, § 128, pag. 113. Wir setzen einen einfachen bekannten Beweis hieher: Es ist (G 1 G 1 ′ AA *)=−1=G 1 G 1/′ A * A); ferner auch (B 3 B 2 AA *)=−1; daher sindG 1 B 3,G 1/′ B 2 undA * A drei Paare einer Projectivität, in welcher das letzte Paar vertauschbar, daher Involution.
Das kann wie folgt gezeigt werden: Eine Verbindungslinie der Halbierungspunkte eines Paares Gegenseiten und die unendlich ferne Gerade können als ein Kegelschnitt aufgefasst werden. Zwei Paare Gegenecken eines vollständigen Vierecks sind in bezug auf dieses Geradenpaar conjugiert, folglich ist es auch das dritte Paar, also muss das Eckenpaar des Poldreieckes durch jene Verbindungslinie halbiert werden. Oder: Die drei Paare Gegenseiten eines vollständigen Viereckes bilden drei vollständige Vierecke; jeweils bilden das dritte Paar Gegenseiten und die Poldreieckseite, welche die Schnittpunkte der beiden zum Viereck benützten Gegenseitenpaare verbindet, die drei Diagonalen des vollständigen Viereckes, deren Halbierungspunkte nach dem bekannten Satz von Gauss-Bodenmüller in einer Geraden liegen müssen. Auf solche Art erhält man drei solcher Geraden, die durch einen Punkt gehen.
Da diese ja auch die unendlich fernen Punkte des Mittelpunkts-Kegelschnittes zu Doppelpunkten hat.
Die Zuordnung der Verbindungslinien und Poldreieckseiten ist nicht zweifelhaft.
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Ruth, F. Beitrag zur Construction der Kegelschnitte aus imaginären Elementen. Monatsh. f. Mathematik und Physik 3, 81–86 (1892). https://doi.org/10.1007/BF01692426
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01692426