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Literatur
Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872. — Pasch, Einleitung in die Differential- und Integralrechnung, 1882. — Pringsheim, Irrationalzahlen und Convergenz unendlicher Processe; in Encyklopädie der math. Wissensch. 1898, I A 3.
Die übrigen bekannten vier Eigenschaften ähnlicher Art sind bereits Folgerungen aus den hier angeführten; man vergleiche Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885; I, S. 5.
aIb soll besagen:a steht zub in der Beziehung “I”.
Der Beweis dieses Satzes aus der Arithmetik der rationalen Zahlen kann auf folgende Weise geführt werden: man überzeugt sich zunächst mit Leichtigkeit, dass, wenn man irgend eine rationale Zahl durch ein Paar anderer rationaler Zahlen einschließt, und sodann jede dieser drei Zahlen mit einer beliebigen vierten durch irgend eine der rationalen Rechnungsoperationen verknüpft, das Verknüpfungsergebnis der eingeschlossenen Zahl bei Verwendung der Addition, Subtraction oder Multiplication ausnahmslos, bei Verwendung der Division jedoch nur unter der Bedingung, dass die beiden den Divisor einschließenden Zahlen vom selben Vorzeichen sind, nicht außerhalb der Verknüpfungsergebnisse der beiden einschließen den Zahlen gelegen ist. Sind nuna 1 unda 2 die beiden oben erwähnten, das Individuuma, und desgleichenb 1 undb 2 die beiden das Individuumb einschließenden rationalen Zahlen, und α eine beliebige rationale Zahl zwischena 1 unda 2 und ebenso β eine beliebige rationale Zahl zwischenb 1 undb 2, und bezeichnet man ferners das Ergebnis der Verknüpfung irgend zweier rationalen Zahlen vermittels irgend einer der vier Rechnungsoperationen einfach dadurch, dass man die beiden Zahlen nebeneinander setzt und in Klammern schließt, so folgt zunächst aus dem obigen Hilfssatz, und zwar im Falle der Division nur unter der angegebenen Bedingung, dass (α β) nicht außerhalb von (αb 1) und (αb 2) liegt; die wiederholte Anwendung dieses Hilfssatzes ergibt dann weiter, dass (αb 1) nicht außerhalb von (a 1 b 1) und (a 2 b 1), und ebenso (αb 2) nicht außerhalb von (a 1 b 2) und (a 2 b 2) liegt; daraus folgt aber sofort, dass (α β) zwischen (nicht etwa bloß “nicht außerhalb”) dem kleinsten und dem größten der vier Verknüpfungsergebnisse (a 1 b 1), (a 1 b 2), (a 2 b 1), (a 2 b 2) liegt.
Das Wort “Unterschied” bedeutet hier wie im folgenden stets den absoluten Betrag der Differenz.
Dies folgt aus dem auf Seite 55 angeführten Satze aus der Arithmetik der rationalen Zahlen.
Schönflies, Mengenlehre; in Encyklopädie der math. Wiss. 1899. I A 5, S. 187.
Einen derartigen Fall behandelt Hočevar in Monatsheft f. Math. u. Phys. V. Jahrg. 1894. “Das associative Gesetz der unendlichen Reihen und Producte.”
Man vergleiche S. 62 und 63.
Man vergleiche S. 61 und 63.
Ist eine Zahlenmenge durch eine “unendliche Reihe” erzeugt worden so ist jede Zahl dieser Menge eine Theilsumme und der Unterschied irgend zweier Zahlen der Menge nichts anderes als der absolute Betrag entweder eines einzelnen Gliedes oder einer Summe mehrerer unmittelbar aufeinanderfolgender Glieder dieser Reihe; gemäß dem obigen allgemeinen Convergenzkennzeichen muss es dann, wenn die betreffende “unendliche Reihe” convergent war, möglich sein, jedesmal lediglich durch Absonderung einer endlichen Zahl ihrer Theilsummen zu bewirken, dass der Unterschied irgend zweier der übrig gebliebenen Theilsummen kleiner als eine beliebig vorgegebene positive Zahl sei; ist nunn der größte Stellenzeiger bei den abgesonderten Theilsummen, so wird zum mindesten vom (n+2)ten Reihengliede, also jedenfalls von einem gewissen Reihengliede an, der absolute Betrag sowohl jedes einzelnen Gliedes als auch jed er Summe von beliebig vielen unmittelbar aufeinanderfolgenden Gliedern kleiner als die genannte beliebig vorgegebene positive Zahl sein; war hingegegen die betreffende “unendliehe Reihe” nicht convergent, so kann sie auch die eben genannte Eigenschaft nicht besitzen, da dieselbe stets die Convergenz nach sich zieht; ist nämlichn der kleinste Stellenzeiger, von dem an der absolute Betrag sowol jedes einzelnen, als auch jeder Summe unmittelbar aufeinanderfolgender Reihenglieder kleiner als eine beliebige vorgegebene positive Zahl ist, so wird nach Absonderung aller Theilsummen bis höchstens zum Stellenzeigern−2, also jedenfalls nur einer endlichen Menge derselben, der Unterschied von irgend zweien der unendlich vielen überbleibenden Theilsummen kleiner als die genannte positive Zahl sein. Es folgt daher der bekannte Satz, dass die genannte Eigenschaft, da sie allen convergenten unendlichen Reihen und nur diesen zukommt, als Convergenzkennzeichen für unendliche Reihen wohl geeignet ist.
Pringsheim. S. 72. — Stolz. I, S. 140.
Cauchy, Cours d'analyse de l'école royale polytechnique; Ire partie. Analyse algébrique. 1821, S. 132; Chauchy bedient sich hier des Ausdruckes “la plus grande des limites”.
Paul Du Bois-Reymond, Die allgemeine Functionentheorie, 1882. S. 266. — Stolz. I, S. 161. — Pringsheim. S. 70.
Hiebei ist gedacht, dass gleiche Coordinaten, welche wiederholt auftreten, auch entsprechend wiederholt in die betreffende Menge aufgenommen werden; man vergleiche S. 66.
Man vergleiche die Erklärungen auf S. 63.
Man vergleiche S. 66.
Man vergleiche S. 67.
Da, und zwar “dank der zweckmäßigen Ausdehnung des Begriffes ≪absoluter Betrag≫“ (Stolz, Vorlesungen über Arithmetik, II. S. 136), das oben angeführte Convergenzkennzeichen für complexe unendliche Zahlenmengen ganz denselben Wortlaut hat wie das Convergenzkennzeichen für reelle unendliche Mengen, so folgt, dass das aus letzterem abgeleitete Convergenzkennzeichen für reelle “unendliche Reihen” (man vergleiche die Anmerkung auf S. 68) wörtlich auch für complexe “unendliche Reihen” giltig ist.
Man vergleiche die Begriffsbestimmung der zweiten unteren Grenze, S. 61.
Man vergleiche S. 53.
Mittag-Leffler, Sur la représentation analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogène, Acta math. 1900. S. 44.
Cauchy, S. 151 und S. 286; hier heißt es: Soit maintenant .... A la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandisquen croît indéfiniment, la racinen me. de la valuer numérique dea n .... la sériea 0,a 1 x,a 2 x 2, ....a n x n, &c .... est convergente ou divergente suivant que le module de l'expression imaginairex est infèrieur ou supérieur à 1/A.
Hadamard, Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, Journ. de Mathémetiques, IVième série, VIII; 1892, S. 101. —Hadamard, Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, Comptes rendus CVI, 1892, S. 259. — v. Schaper, Über die Theorie der Hadamard'schen Functionen und ihre Anwendung auf das Problem der Primzahlen, Inaug.-Diss. Göttingen, 1898; hierin wird auch ein unter gewissen Voraussetzungen giltiger Beweis von Hilbert vorgeführt. —Picard, Traité d'analyse, I, S. 211; II, S. 71. — Pringsheim, S. 81.
Man vergleiche Seite 63.
Man vergleiche Seite 67.
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Walter, A. Über den Cauchy-Hadamardschen Satz vom Convergenzradius; nebst einer Darstellung der Dedekindschen Irrationalzahlentheorie. Monatsh. f. Mathematik und Physik 12, 49–81 (1901). https://doi.org/10.1007/BF01692121
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