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Literatur
Chasles, Académie de Bruxelles, 1830: „Eine Ebene, für welche das Product der Sinus der Neigungswinkel gegen zwei sich in einem Punkte der Ebene schneidende Gerade constant ist, umhüllt einen Kegel zweiten Grades mit den gegebenen Geraden als Focallinien.”
Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, Bd. XCIX, 1890, wo auch wegen der gewählten Bezeichnungen nachgesehen wérden möge.
Es liefert nämlich jenes der beiden Systeme von confocalen Kegeln die positiven Isophengen, für welches Licht- und Sehstrahlen auf derselben Seite des Mantels auffallen.
Diese Construction, auf welche Burmester erst im § 67 seines Buches: „Theorie und Darstellung der Beleuchtung ges. Fl.”, nach umständlichen analytischen Betrachtungen kommt, kann den Ausgangspunkt einer rein geometrischen Behandlung der Beleuchtungscurven überhaupt bilden.
In der Zeichnung sind jene Stücke der Curve, welche auf dem über der Strictionshelix liegenden Theile der Fläche sich befinden, ausgezogen, die anderen nur „gestrichelt” angedeutet.
WeilQ ein Brennpunkt vonc * ist, so scheiden die absoluten Centralstrahlen aus.
Die Kegelschnitte sind Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, je nachdem die Geraden den Kreisu 2 nicht schneiden, berühren oder schneiden. Wenn die Gerade dem BüschelL * angehört, so zerfällt der Kegelschnitt ini und die Gerade selbst, wenn die Gerade dem BüschelM′ angehört, so zerfällt der Kegelschnitt inm * und eine Gerade durchN′, wenn die Gerade dem BüschelN′ angehört, so zerfällt der Kegelschnitt inn * und eine Gerade durchM′.
Wenn man dem PunkteA′ nicht den PunktA selbst, sondern die Polare des letzteren in Bezug aufm zuweist, so ergibt sich ein quadratisches Nullsystem, in welchem die Punkte vonc o′ den Tangenten vonr entsprechen. (Ameseder, Sitzungsberichte der Wiener Akademie, 1881.)
Poncelet zeigt in seinen „Applications d'analyse et de géométrie”, 1862, tome I, unter den „souvenirs de l'école polytechnique” die obige einfache Tangentenconstruction für den besonderen Fall des axialen Helikoides nach der „Methode von Roberval” und sagt, dass er dieselbe schon während seiner Studienzeit (1809–1810) gefunden und später (1820) seinem Freunde Bardin mitgetheilt habe, was auch Olivier citiert. Mannheim gibt dann in einer „addition” eine rein geometrische Ableitung. De la Gournerie („Journal de l'école polytechnique”, 34. cahier no 67) zeigt eine Tangentenconstruction mit Hilfe der Asymptoten der Indicatrix und der conjugierten Tangenten eines Flächenpunktes, welche für das axiale Helikoid die obige einfache wird. Pelz leitet die letztere rein geometrisch ab (Sitzungsberichte der Akademie, 1883, p. 479) und überträgt sie durch die Bemerkung conformer Dreiecke auf die Nullcurve eines unendlich fernen Punktes beim allgemeinen Helikoid. Burmester zeigt („Zeitschr. f. Mathematik u. Physik”, 1873, p. 200) eine minder einfache Construction (kinematisch).
Denn die Curve ist von der 6. Classe.
W. Binder, „Zeitschr. f. Mathematik u. Physik”, XXXV. Jahrg.
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Schmid, T. Über die Beleuchtungscurven der windschiefen Helikoide. Monatsh. f. Mathematik und Physik 2, 333–342 (1891). https://doi.org/10.1007/BF01691845
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