Исследование устойгивости периодигеских движений в окрестности коллинеарных точек либрации

Резюме

В 1937 году сотрудниками сектора небесной механики и космогонии ГАИШ была предпринята попытка детальной научной ревизии гипотезы Гильдена-Мультона о происхождении противосияния с позиций небесной механики (Моисеев, 1938). Выполненные тогда исследования, самими авторами рассматривавшиеся как предварительные, содержат, тем не менее, ряд важных результатов. Так, Г. Н. Дубошин показал (Дубошин, 1938), что периодические движения конечной амплитуды вблизи коллинеарных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трёх тел неустойчивы по Ляпунову как в собственном, так и в орбитальном смысле. Последний результат противоречит вышеупомянутой гипотезе и является одним из самых серьёзных возражений среди всех известных выводов отрицательного характера относительно существования скопления Гильдена-Мультона (Моисеев, 1938; Szebehely, 1967).

Ксожалению, большинство частных задач, входящих в сформулированную Н. Д. Моисеевым программу дальнейших исследований по проверке обоснования гипотезы Гильдена-Мультона (Моисеев, 1938), никем не рассматривались.

Одна из этих задач — задача об устойчивости пространственных периодических орбит вблизи коллинеарных точек либрации — решается в настоящей статье в рамках модели пространственной круговой ограниченной задачи трёх тел. Основное внимание при этом уделено исследованию орбитальной устойчивости рассматриваемых периодических движений, ибо в собственном смысле все они неустойчивы по Ляпунову вследствие непрерывной зависимости периода любого из этих движений от некоторой произвольной постоянной, имеющей смысл параметра орбиты. Автором показано, что задача об орбитальной устойчивости периодических решений вблизи коллинеарных точек либрации пространственной круговой ограниченной задачи трёх тел сводится к одному из обыкновенных случаев теории устойчивости периодических движений А. М. Ляпунова, когда для решения вопроса об устойчивости или неустойчивости достаточно рассмотрения уравнений в вариациях. С помощью анализа корней соответствующего характеристичного уравнения доказывается орбитальная неустойчивость как плоских, так и пространственных решений, что затем подтверждается вычислением характеристических показателей указанных периодических решений по методу Н. А. Артемьева (Артемьев, 1944). Наконец, доказывается возможность условной устойчивости в линейном лриближении.

Abstract

In 1937, the Celestial Mechanics and Cosmogony section of the Sternberg State Astronomical Institute undertook the task of evaluating the Gylden-Moulton hypothesis on the origin of the Gegenshein from the standpoint of celestial mechanics. That investigation, which the authors themselves considered preliminary, contains nonetheless a series of important results. For example, G. N. Duboshin showed that in the planar, circular, restricted three-body problem, periodic motion of finite amplitude in the neighborhood of a collinear libration point is unstable according to Lyapunov's criterion both in the proper and in the orbital sense. The latter result is incompatible with the above named hypothesis, and thus appears as one of the serious objections among the many known negative conclusions relative to the existence of the Gylden-Moulton cluster.

Unfortunately, most of the specific problems which arose in the above named research have not been considered since. One of these, the problem of the stability of three-dimensional periodic orbits in the neighborhood of a collinear libration point is solved in the present paper, within the limits of the three-dimensional, circular, restricted, three-body problem. Major attention is given to the investigation of stability in the orbital sense, since in the proper sense all orbits are unstable according to Lyapunov theory. It is shown that in order to resolve the question of stability, it is sufficient to consider the equations in their variational form. Analysis of the roots of the corresponding characteristic equations determines the orbital stability of planar and three-dimensional solutions, which later can be confirmed by calculation of the characteristic exponents appearing in the periodic solutions of the N. A. Artemiev method. Finally, the possibility of conditional stability in the linear approximation is proved.