Diffraction of solitary waves

Abstract

Whitham's extension of geometrical optics to nonlinear diffraction is applied to solitary waves of reference amplitudea ₀ in water of uniform depthd ₀ on the hypotheses thata ₀≪d ₀ and that the angle through which a diffracted wave is turned is of the order of (a ₀/d ₀)^1/2. The equations governing the amplitude and direction of the waves are reduced to a quasi-linear, hyperbolic systemof two first-order partial differential equations. Explicit results are obtained for diffraction by a convex bend and by a concave corner, and it is found that a solitary wave of initial amplitudea ₀ cannot be turned through a convex angle greater than (3a ₀/d ₀)^1/2 without separating or otherwise losing its identity. An empirical generalization for larger amplitudes and turning angles is proposed. General solutions are obtained (in an appendix) through a hodograph transformation.

Zusammenfassung

Whitham's Erweiterung der geometrischen Optik auf nichtlineare Diffraktion wird auf Einzelwellen (solitary waves) angewendet. Dabei wird angenommen, dass die Referenzamplitudea ₀ viel kleiner als die konstante, ungestörte Wassertiefed ₀ sei und dass der Ablenkungswinkel die Grössenordnung (a ₀/d ₀)^1/2 habe. Die Gleichungen für Amplitude und Richtung der Wellen werden auf ein quasi-lineares, hyperbolisches System von zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung reduziert. Explizite Resultate für die Diffraktion an einer konvex gekrümmten Wand und an einer konkaven Ecke werden angegeben. Dabei wird gefunden, dass eine Welle der ursprünglichen Amplitudea ₀ durch eine konvexe Biegung nicht mehr als (3a ₀/d ₀)^1/2 abgelenkt werden kann, ohne dass sie ablöst oder ihre Identität verliert. Eine empirische Verallgemeinerung für grössere Amplituden und Ablenkwinkel wird vorgeschlagen. Im Anhang werden mit einer Hodographentransformation allgemeine Lösungen gegeben.