Orthogonal edge polynomials in the variational solution of some boundary layer problems in elasticity

Zusammenfassung

Homogene Randbedingungen sind längs der Kanteny=±1 undx=a (a≫1) eines Rechtecks vorgeschrieben, inhomogene längs der Kantex=0. Zur Lösung der Gleichung∇ ⁴ Φ=0, und besonders zur Bestimmung ihres Verhaltens in der Nähe vonx=0, wird von einer Minimisierung des Energieintegrals

$$2EU = \int {\int {[\Phi _{xx}^2 + 2\Phi _{xy}^2 + \Phi _{yy}^2 ]} dydx} $$

ausgegangen. Wenn Φ(x, y) durch∑ A _n Φ _n =∑ A _n f _n(y)g _n (x) approximiert wird, wo die (von vornherein gewählten)f _n(y) orthogonal sind und die Randbedingungen any=±1 erfüllen, so ist die Funktionenscharf′ _n(y) und die Funktionenscharf¨' _n(y) nahezu orthogonal, und das Integral vereinfacht sich zu

$$2EU \simeq \Sigma {\rm A}_n^2 \int {\int {[\Phi _{n,xx}^2 + 2\Phi _{n,xy}^2 + \Phi _{n,yy}^2 ]dydx.} } $$

Nachdem übery integriert wird, kann man die Funktioneng _n(x) als Lösungen einer einfachen Euler-Gleichung erhalten; die KoeffizientenA _n können mittels der Fourier-Entwicklungs-Formel bestimmt werden, und das Problem ist gelöst. In dem elastischen Endproblem des Zylinders kann man das IntegralU durch Einführung geeigneter ProduktfunktionenΦ _n =F _n (v)G _n (z) in gleicher Weise vereinfachen; jedoch findet man, dassF _n(r) sich nicht in der üblichen Weise orthogonalisieren lässt; man benutzt zur Orthogonalisierung eine Verallgemeinerung der Idee des Rayleighschen Quotienten.