Regularisierte Faltung von Distributionen. Teil 1: Zur Berechnung von Fundamentallösungen

Zusammenfassung

Für 2 Distributionen, deren Faltung nicht existiert, wird—mehrdeutig—eine ‘bezüglich eines Differentialoperators regularisierte Faltung’ definiert.

An 4 Beispielen wird die Anwendbarkeit der ‘regularisierten Faltung’ bei der Berechnung von Fundamentallösungen faktorisierbarer Differentialoperatoren gezeigt. Dabei wurde die Fundamentallösung in Beispiel 3.2. erstmalig ohne Überlegungen physikalischer Art hergeleitet. Beispiel 3.3. verallgemeinert bekannte Ergebnisse, wobei diese als Spezialfälle erscheinen (Bemerkung 3) oder als fehlerhaft nachgewiesen werden (Bemerkung 4). Die Fundamentallösungen der Beispiele 3.1 und 3.4 scheinen in dieser Form neu zu sein.

Schließlich folgen einige einfache Sätze, mittels derer Fundamentallösungen von iterierten Differentialoperatoren angegeben werden können. Sie werden im 2. Teil der Arbeit (‘Eine Tabelle von Fundamentallösungen’) angewendet. Literaturhinweise finden sich am Ende von Teil 2.

Summary

For two distributions (whose convolution does not necessarily exist) we define a (manyvalued) ‘convolution regularized with respect to a differential operator’.

We illustrate by four examples the usefulness of the concept of a regularized convolution for computing fundamental solutions of factorisable differential operators. The fundamental solution of example 3.2 is derived for the first time without considerations from physics. Example 3.3 generalizes well-known results, which either appear as special cases (remark 3) or are proved to contain errors (remark 4). The fundamental solutions of examples 3.1 and 3.4 seem to be new in this form.

Finally we give some simple propositions concerning fundamental solutions of iterated differential operators. They will be used in part 2 of this paper (‘a table of fundamental solutions’)

The references are given at the end of part 2.