Zwei integralgeometrische Formeln für Paare konvexer Körper

Zusammenfassung

Betrachtet man Paare zufälliger Punkte, die in einem konvexen Körper gleichverteilt sind, sowie zufällige Geraden, die den konvexen Körper schneiden, so findet man eine einfache Beziehung der Momente der Verteilungen des Abstandes beider Punkte und der von der Geraden bestimmten Sehnenlänge. Diese Beziehung wird auf zwei Arten verallgemeinert. Die beiden Punkte sind in zwei konvexen Körpern gleichverteilt und zum anderen sind beliebige Funktionen des Abstandes zugelassen. Sodann werden einige Spezialfälle diskutiert.

Drückt man die Geradendichte in Termen von Oberflächenelementen beider konvexer Körper aus, so gelangt man zu einer zweiten Klasse integralgeometrischer Formeln.

Summary

If we consider pairs of random points which are uniformly distributed in a convex body and random straight lines which hit the convex body, we find a simple relation between the moments of the distributions of the distance of the points and of the chord-length determined by the line. This relation can be generalized in two ways. On the one hand, the two points are taken from different convex bodies. On the other hand, we consider arbitrary functions of the distance. By expressing the density of lines in terms of surface-elements of the two bodies we obtain another integral-geometrical formula.