Geometry and stability theory

Abstract

If a mechanical system moves from a configurationx ₀ to another configurationx, the work of all the forces, corresponding to all kinematically admissible paths and all speeds of description of those paths, usually is bounded above. It then possesses a least upper bound −Λ(x ₀,x). If the system is conservative, Λ(x ₀,x) is the inerement of potential energy. However, conservatism is not assumed. The function Λ(x ₀,x) plays the role usually given to potential energy in stability theory. This generalization is illustrated with two different dynamical criteria for static stability. Properties of the function Λ(x ₀,x) that ensure stable equilibrium at pointx ₀ are derived from the law of kinetic energy in the context of geometry of configuration space.

Résumé

Si un système mécanique se déplace d'une configurationx ₀ vers une autre configurationx, le travail de toutes les forces, correspondant à tous les chemins admissibles de façon cinématique et à toutes les vitesses de description de ces chemins, est d'habitude limité d'en haut. Le travail possède alors une moindre limite supérieure −Λ(x ₀,x). Si le systéme est conservatif, Λ(x ₀,x) est l'incrément de l'énergie potentielle. Toutefois, le conservatisme n'est pas supposé. La fonction Λ(x ₀,x) joue le rôle qui est d'habitude attribué à l'énergie potentielle dans la théorie de la stabilité. Cette généralisation est illustrée avec deux critériums dynamiques pour la stabilité statique. Les propriétés de la fonction Λ(x ₀,x) qui assurent l'équilibre stable au pointx ₀ se dérivent de la loi de l'énergie cinétique dans le contexte de géométrie de l'espace de configuration.