Problèmes de Sturm-Liouville: bornes pour les valeurs propres et les zéros des fonctions propres

Résumé

Par un partage de [a, b] en deux intervalles partielsI′=[a, y] etI″=[y, b], on définit deux nouveaux problèmes aux valeurs propres. A partir d'une fonction particulière, on détermine, à l'aide de l'inégalité de Barta et du processus d'itération de Schwarz, des bornes inférieuresv ⁻ _n (y) pour la première valuer propre du problème défini dansI′. On obtient de manière analogue des bornes supérieures μ ⁺ _n (y)pour la première valeur propre du problème défini dansI″. Aun-iéme pas de l'itération, une borne inférieure pour le zéroz de la deuxième fonction propre est donnée par la racine de l'équationv ⁻ _n (y)—μ ⁺ _n (y)=0. On trouve de façon semblable, une suite de bornes supérieures tendant versz.

On généralise le procédé pour les zéros des fonctions propres supérieures.

Summary

Cutting [a, b] into two partial intervalsI′=[a, y] andI″=[y, b], we define two new eigenproblems. Starting from a particular function and using Barta's inequality and Schwarz's interation procedure, we determine lower boundsv ⁻ _n (y) for the first eigenvalue of the problem defined inI′. We can likewise obtain upper bounds μ ⁺ _n (y) for the first eigenvalue of the problem defined inI″. Aftern iterations, a lower bound for the zeroz of the second eigenfunction is the root of the equationv ⁻ _n (y)—μ ⁺ _n (y)=0. — We find, in an analogous way, a sequence of upper bounds which tend toz.

We generalize this procedure for the zeros of higher eigenfunctions.