Two-dimensional B-spline finite elements and their application to the computation of solitons

Contents

In this paper we investigate the interaction of localized solutions with stable shape and constant velocity, so called solitons, of the Kadomtsev-Petviashvili-equation by numberical methods. B-spline finite elements turn out to be well suited for this purpose. The concept of two-dimensional B-spline finite elements and their numerical implementation is presented. In order to test the method, a diffusion problem with an analytically known solution, is solved with B-spline elements and, for comparison, with Lagrange and Hermite elements. Finally, the interaction of two solitons of the Kadomtsev-Petviashvili-equation is computed numerically.

Übersicht

In dieser Arbeit wird die Wechselwirkung von sich formstabil mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden lokalisierten Lösungen, sogenannten Solitonen, der Kadomtsev-Petviashvili-Gleichung mit numerischen Methoden untersucht. Es zeigt sich, daß B-Spline-Elemente gut für diesen Zweck geeignet sind. Nachdem die zweidimensionalen B-Spline-Elemente und deren numerische Implementation vorgestellt worden sind, wird als Testbeispiel ein Diffusionsproblem mit einer analytisch bekannten Lösung damit berechnet. Zum Vergleich wird dasselbe Problem auch mit Lagrange-Elementen und mit Hermitischen Elementen gelöst. Schließlich wird das Verhalten von zwei wechselwirkenden Solitonen der Kadomtsev-Petviashvili-Gleichung numerisch berechnet.