Skip to main content
SpringerLink
Log in

Allgemeine Grundlagen der Netzberechnung mit Inzidenzmatrizen

  • Published:
Archiv für Elektrotechnik Aims and scope Submit manuscript

Übersicht

Zur Berechnung der Ströme und Spannungen in elektrischen Netzen bei gegebenen treibenden Spannungen verwendet man die Maschen-oder Knotenpunktsmethode. Während die erste Methode die Ströme unmittelbar liefert, ergibt die zweite Methode die Spannungen unmittelbar. Zur übersichtlichen Aufstellung der Gleichungen ist es zweckmäßig Indizenzmatrizen, welche die Topologie des Netzes eindeutig beschreiben, zu verwenden. Außerdem kann die Theorie der Inzidenzmatrizen mit Vorteil dazu benutzt werden, das Aufstellen der Gleichungen für die unbekannten Ströme bzw. Spannungen einem Rechenautomaten zu überlassen, wodurch es möglich wird, Netzberechnungen auch weniger geübten Hilfskräften zu übertragen. Bei Verwendung eines digitalen Rechenautomaten sing dann die Netzdaten nur noch in Form einer Liste aller Impedanzen und der mit ihnen verbundenen Knotenpunkte einzugeben.

Um den reibungslosen Ablauf einer Netzberechnung zu garantieren, ist es ferner zweckmäßig, gewisse hinreichende Kriterien für die Auflösbarkeit der Netzwerksgleichungen zu beachten, die hier bewiesen werden.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Abbreviations

k :

Anzahl der Knotenpunkte

z :

Anzahl der Zweige,

z B :

Anzahl der Baumzweige

z U :

Anzahl der unabhängigen Zweige

γ:

Anzahl der unabhängigen Maschen bzw. Zweige

b :

Gesamtzahl aller möglichen Bäume

S :

komplexe Leistung=P+jQ

P :

Wirkleistung

Q :

Blindleistung

0:

Nullmatrix,-vektor

1:

Einheitsmatrix

M:

Quadratische oder rechteckige Matrix

M t :

transponierte vonM

M * :

Matrix der konjugiert-komplexen Werte vonM

M H :

hermitescher Teil vonM

v:

Spaltenvektor

v i. :

i-ter Zeilenvektor der MatrixV

v .k :

k-ter Spaltenvektor der MatrixV

i:

Vektor der Zweigströme

u, e:

Vektor der Zweigspannungen, bzw. der Zweig-EMKe.

Z:

diag (z 11...z zz )=R+jX=Zweig-Impedanz-Matrix

Y:

Z−1=G+jD=Zweigadmittanzmatrix

C:

\(\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - B^{ - 1} A} \\ \end{array} } \right)\) = Cyklen-Zweig-Indizenzmatrix

i0 :

Vektor der Maschenströme

i′:

Vektor der übrigen Zweigströme, es ist also\(i = \left( {\begin{array}{*{20}c} {i^0 } \\ {i'} \\ \end{array} } \right)\),

u0 :

Vektor der Maschenspannungen

Z0 :

Maschenimpedanzmatrix

K:

Knotenpunktszweig-Inzidenzmatrix

\(\tilde K\) :

(A, B)=reduzierte Knotenpunkts-Zweiginzidenzmatrix, Zeile des Bezugsknotenpunkts gestrichen

\(i^ + , \tilde i^ + \) :

Vektor bzw. reduzierter Vektor der Knotenpunktsströme

u+, ũ+ :

Vektor bzw. reduzierter Vektor der Knotenpunktsspannungen

\(Y^ + , \tilde Y^ + \) :

Knotenpunkts-Admittanzmatrix bzw. reduzierte Knotenpunkts-Admittanzmatrix

Literatur

  1. Kirchhoff, G. Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. (Gesammelte Abhandlungen 22–23), Ann. d. Phys. u. Chemie 72 (1847) S. 497–508

    Google Scholar 

  2. Weyl, H.: Reparticion de corriente en una red conductora. Rev. matematica Hisp.-Americana. Tomo 5 (1923) S. 153–164. Analysis situs combinatorio. Rev. matematica Hisp.-Americana. Tomo 5 (1923) S. 209–218, 241–249, 273–279, Tomo 6 (1924) S. 1–9, 33–41.

    Google Scholar 

  3. Veblen, O.: Analysis Situs. New York. American Mathematical Society, Colloquium Publications Vol. 5, Teil II (1931).

  4. Foster, R. M.: Geometrical Circuits of Electrical Networks. Trans. of the AIEE Vol. 51 (1932) S. 309–317.

    Google Scholar 

  5. Ku, Y. H.: Extension of Maxwells Rule for Analyzing Electrical Networks, Sci. Rep. National Tsing Hua University, Series A Vol. 1, No. 6 (1932).

  6. Quade, W.: Klassifikation der Schwingungsvorgänge in gekoppelten Stromkreisen. Habilitationsschrift. TH Karlsruhe. Borna-Leipzig: Universitätsverlag R. Noske 1933.

    Google Scholar 

  7. König, Dénes: Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1936.

    Google Scholar 

  8. Kron, G.: Tensor Analysis of Networks. New York: J. Wiley and Sons 1939 (2. Aufl. 1949).

    Google Scholar 

  9. Aitken, A. C.: Determinants and Matrices New York-London: Interscience Publishers. 1939 (8-ed. 1954).

    Google Scholar 

  10. Quade, W.: Matrizenrechnung und elektrische Netze. Arch. Elektrotechn. Bd. 34 (1940) S. 545–567

    Google Scholar 

  11. Dörrie, H.: Determinanten. München und Berlin: R. Oldenbourg 1940.

    Google Scholar 

  12. Cauer, W.: Theorie der linearen Wechselstromschaltungen Bd. 1. 1. Aufl. Leipzig: Akad. Verlagsges. 1941 (2. Aufl. 1954).

    Google Scholar 

  13. Ingram, W. H., u.C. M. Cramlet: On the Foundations of Electrical Network Theory. J. Math. Phys. Vol. 23 (1944) S. 134–155.

    Google Scholar 

  14. Schmeidler, W.: Vorträge über Determinanten-Matrizen mit Anwendungen in Physik und Technik Berlin: Akademie-Verlag 1949.

    Google Scholar 

  15. Zurmühl, R.: Matrizen. 1. Aufl. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1950 (2. Aufl. 1958).

    Google Scholar 

  16. Lantieri, J.: Méthode de Détermination des Arbes d'un Réseau, Ann. Télécomm. Vol. 5 (1950) S. 204 bis 208.

    Google Scholar 

  17. Kirschner, U.: Allgemeine Netzwerktheorie. Arch. elektr. Übertragung Bd 4 (1950) S. 367 bis 373.

    Google Scholar 

  18. Bauer, H.: Tensorielle Behandlung elektrotechnischer Probleme. Österr. Ing.-Arch. Bd. 4 (1951) H. 1, S 1–11.

    Google Scholar 

  19. Synge, J. L.: The Fundamental Theorem of Electrical Networks. Quart. Appl. Math. Vol. 9 (1951), Nr. 2, S. 113–127.

    Google Scholar 

  20. Ku, Y. H.: Résumé of Maxwell's and Kirchhoff's Rules for Network Analysis. J. Franklin Instit. Vol. 253 (1952) S. 211–224.

    Google Scholar 

  21. Foster, R. M.: Topologic and Algebraic Considerations in Network Synthesis. Proc. of the Symp. on Modern Network Synthesis I. Polytechnik Institute of Brooklyn. New York, N.Y., April 16, 17, 18, 1952. S. 9–18.

  22. Mortlock, J. R. u.W. W. Humphrey Davies: Power System Analysis, London: Chapman and Hall 1952.

    Google Scholar 

  23. Zimmermann, F.: Berechnung knotenpunktsbelasteter Maschennetze mit Matrizen. ETZ-A 74. Jahrg. (1953) S. 45–50.

  24. Percival, W. S.: The Solution of Passive Electrical Networks by Means of Mathematical Trees. J. IEE, Teil III Vol. 100 (1953) S. 143–150.

    Google Scholar 

  25. Mason, S. J.: Feedback Theory-Some Properties of Signal Flow Graphs. Proc. IRE Vol. 41 (1953) S. 1144–1156.

    Google Scholar 

  26. Guillemin, E. A.: Introductory Circuit Theory. New York: J. Wiley and Sons 1953.

    Google Scholar 

  27. Ghenzi, A. G.: Studien über die algebraischen Grundlagen der Theorie der elektrischen Netzwerke. Promotionsarbeit. Techn. Hochschule Zürich 1953.

  28. Percival W. S.: Improved Matrix and Determinant Methods for Solving Networks. Proc. I. E. E., part IV, Vol. 101 (1954) S. 258–265.

    Google Scholar 

  29. Kaufmann, A.: Mise en équations et résolution des réseaux électriques en régime transitoire par la méthode tensorielle.. 1re Thése. Dissert. Univ. Grenoble, 1954.

  30. Shekel, J.: Two Network Theorems Concerning Change of Voltage Reference Terminal. Proc. IRE Vol. 42 (1945) S. 1125.

    Google Scholar 

  31. Trent, H. M.: An Note on the Enumeration and Listing of all Possible Trees in a Connected Linear Graph. Proc. Nat. Acad. Sci. Vol 40 (1954) S. 1004–1007.

    Google Scholar 

  32. Seshu, S.: The Mesh Counterpart of Shekel's Theorem. Proc. IRE Vol. 43 (1955) S. 342.

    Google Scholar 

  33. Okada, S.: Algebraic and Topological Foundations of Network Synthesis. Proc. of the Symp. on Modern Network Synthesis II. Polytechnic Institute of Brooklyn. New York, N. Y., April 13, 14, 15 1955, S. 283–322.

    Google Scholar 

  34. Trent, H. M.: Isomorphismus between Oriented Linear Graphs and Lumped Physical Systems. J. Acoust. Soc. Am. Vol. 27 (1955) S. 500–527.

    Google Scholar 

  35. Reed, M. B. u.S. Seshu: On Topology and Network Theory. Proc. University of Illinois Symp. on Circuit Analysis, May 1955, S. 2.1–2.16.

  36. Reed, M. B.: Generalized Mesh and Node Systems of Equations. IRE Trans. on Circuit Theory CT-2. No. 2 (1955) S. 162–169.

    Google Scholar 

  37. Okada, S.: On Node and Mesh Determinants. Proc. IRE Vol 43 (1955) S. 1527.

    Google Scholar 

  38. Seshu, S.: Topological Consederations oin the Desing of Driving-Point Functions. IRE Trans. on Circuit Theory. CT-2 No. 4 (1955) S. 356–367.

    Google Scholar 

  39. Bennett, J. M.: Digital Computers and Load Flow Problem. Proc. IEE, part B Supplement, Vol. 103 (1956) S. 16–25.

    Google Scholar 

  40. Wong, S. Y., u.M. Kochen: Automatic Network Analysis with a Digital Computation System. Trans. AIEE, pt. I, Vol. 75 (1956) S. 172–176.

    Google Scholar 

  41. Mason, S. J.: Feedback Theory—Further Properties of Signal Flow Graphs. Proc. IRE Vol. 44 (1956) S. 290–296.

    Google Scholar 

  42. Prihar, Z.: Topological Properties of Telecommunication Networks. Proc. IRE Vol. 44 (1956) S. 927–933.

    Google Scholar 

  43. Gröbner, W.: Matrizenrechnung. München: R. Oldenbourg 1956.

    Google Scholar 

  44. Bodewig, E.: Matrix Calculus, 1. Aufl. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1956.

    Google Scholar 

  45. Kron, G.: Diakoptics-The piecewise Solution of Large-scale Systems. Electr. J. Vol. 159 (1957) S. 27–34, 101–105, 385–394, 745–753, 1041–1049, 1409–1416, 1713 bis 1721.

    Google Scholar 

  46. Edelmann, H.: Über die Anwendung von Übertragermatrizen in Untersuchungen auf dem Netzmodell. Arch. elektr. Übertragung Bd. 11 (1957) S. 149–158.

    Google Scholar 

  47. Mason, S. J.: Topological Analysis of Linear Nonreciprocal Networks. Proc. IRE Vol. 45 (1957) S. 829–838.

    Google Scholar 

  48. Ward, H. W. u.J. B. Hale: Digital Computation of Driving Point and Transfer Impedances. Trans. AIEE, pt III, Vol. 76 (1957) S 476 bis 481.

    Google Scholar 

  49. Erbacher, W.: Die rechnerische Behandlung elektrischer Netze unter besonderer Berücksichtigung der Matrizen. Teil I: Österr. Z. f Elektrizitätswirtsch. 10. Jahrg. (1957), S. 435–441. Teil II: Österr. Z. f. Elektrizitätswirtsch., 11. Jahrg. (Febr. 1958) S. 29–36.

  50. Cederbaum, I.: Conditions for the Impedance and Admittance Matrices of n-Ports without Ideal Transformers. Proc. IEE, part C, Vol. 105 (1958) S. 245–251.

    Google Scholar 

  51. Cederbaum, I.: Matrices all of whose Elemente and Subdeterminants are 1−1 or o. J. Math. Phys. Vol. 36 (1958) S. 351–361.

    Google Scholar 

  52. Weinberg, L.: Kirchhoff's “Third and Forth Laws”. IRE Trans. on Circuit Theory. PGCT-1 (1958), S. 8–30.

    Google Scholar 

  53. Reza, F. Some Topological Considerations In Network Theory. IRE Trans. on Circuit Theory. PGCT-1 (1958) S. 30–42.

  54. Coates, C. L.: General Topological Formulas for Linear Network Functions. IRE Trans. on Circuit Theory. PGCT-1 (1958) S. 42 bis 54.

    Google Scholar 

  55. Gould, R.: Graphs and Vector Spaces. J. Math. Phys. Vol. 37 (1958) Nr. 3, S. 193–214.

    Google Scholar 

  56. Byerly, R. T., R. W. Long u.C. W. King: Logic for Applying Topological Methods to Electric works. Trans. AIEE, Vol. 77, pt. I (1958) S. 657–667.

    Google Scholar 

  57. Roeck, J.: Über digitale Methoden zur Ermittlung von Leistungen und Spannungen in Drehstrom-Verbundnetzen. Anwendung elekt. Rechenanlagen in der Starkstromtechnik. VDE-Buchreihe Bd. 3, S. 172–179. Berlin: VDE-Verlag 1958.

    Google Scholar 

  58. Weinberg, L.: Number of Trees in a Graph. Proc. IRE. Vol. 46 (1958) S 1954–1955.

    Google Scholar 

  59. Cauer, W.: Synthesis of Linear Communication Networks. Vol. 1 u. 2. New York-Toronto-London: Mc. Graw-Hill 1958.

    Google Scholar 

  60. Bryant, P. R.: A Topological Investigation of Network Determinants. Proc. IEE Vol. 106, part C, No. 9 (1959) S. 16–22.

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Technische Stammabteilung, i. Fa. Siemens-Schuckertwerke AG., Erlangen

    Hans Edelmann

Authors
  1. Hans Edelmann
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Mit 9 Textabbildungen

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Edelmann, H. Allgemeine Grundlagen der Netzberechnung mit Inzidenzmatrizen. Archiv f. Elektrotechnik 44, 419–440 (1960). https://doi.org/10.1007/BF01574902

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF01574902

Search

Navigation