An electrostatic interpretation of the weighted flow theorem of electromagnetic flowmeters

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The weighted flow theorem of electromagnetic flowmeters links the output voltage of an electromagnetic flowmeter with the spatial velocity distribution of a fluid and the weight function. The existing derivations of the theorem are based on a formal Green's function treatment of the underlying partial differential equation describing flowmeter operation. The main aim of this paper is to provide a physically transparent and mathematically rigorous picture of the origin of the flowmeter output voltage.

We show that electrostatic charges build up both in the volume of the meter and on its surfaces as a weakly conductive fluid enters the magnetic field of the meter. The flowmeter output voltage is completely determined by these volume and surface charges. Departing from the physical conditions in the fluid and the fluid boundaries we establish relations satisfied by those charge densities and then derive the analytical expression for the output voltage by standard electrostatic methods. The resulting expression is transformed into a volume integral of the scalar product of fluid velocity and the weight vector which in turn is equal to the vector product of the magnetic induction and a virtual current, as introduced by Bevir for the first time. We further show that this latter quantity may be interpreted as that part of the normalized current density of the operating flowmeter the contours of which are closed outside of the fluid. We also give a simple interpretation of the results based on conservation of energy.

We hope that the proposed electrostatic approach could provide a more intuitive insight into flowmeter operation to electrical engineers than the general Green's function formalism.

Übersicht

Das Wertigkeitstheorem der induktiven Durchflußmesser verbindet die Ausgangsspannung des induktiven Durchflußmessers mit der räumlichen Verteilung der Geschwindigkeit der Flüssigkeit und der Wertigkeitsfunktion. Die bisherigen Ableitungen dieses Theorems stützen sich auf die Benützung der Greenschen Funktion für die grundsätzliche partielle Differentialgleichung des Durchflußmessers. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, eine physikalisch klare und mathematisch strenge Vorstellung vom Ursprung der Ausgangsspannung des induktiven Durchflußmessers zu geben.

Es wird gezeigt, daß elektrostatische Ladungen im Volumen und an den Oberflächen des induktiven Durchflußmessers entstehen, wenn eine schwach leitende Flüssigkeit in das Magnetfeld des Meßgeräts eintritt. Die Ausgangsspannung des Durchflußmessers ist durch diese Volumen-und Oberflächenladungen vollständig bestimmt und kann aus bekannten elektrostatischen Beziehungen ermittelt werden. Der resultierende Ausdruck wird in ein Volumenintegral des Skalarproduktes der Flüssigkeitsgeschwindigkeit und des Wertigkeitsvektors transformiert. Der Wertigkeitsvektor ist dem Vektorprodukt der magnetischen Induktion und einer virtuellen Stromdichte gleich, die erstmals von Bevir eingeführt wurde. Es wird weiter gezeigt, daß diese Größe auch als diejenige Komponente der normalisierten Stromdichte aufgefaßt sein kann, deren Stromlinien sich über den Außenkreis schließen. Wir geben auch eine einfache energetische Deutung der Resultate an.

Wir hoffen, daß die vorliegende elektrostatische Deutung für Elektroingenieure besser geeignet und anschaulicher ist als die formelle Benützung der Greenschen Funktion.