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Über die mehrfache Rekursion

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Literatur

  1. R. Péter (Politzer). Über den Zusammenhang der verschiedenen Begriffe der rekursiven Funktion, Math. Annalen110 (1934), S. 612–632; und R. Péter, Konstruktion nichtrekursiver Funktionen, Math. Annalen111 (1935), S. 42–60; zitiert im folgenden als “I” bzw. “II”.

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  2. W. Ackermann, Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, Math. Annalen99 (1928), S. 118–133.

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  3. D. h. jener Spezialfall des allgemeinen Hilbertschen Rekursionsbegriffes (D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1916), S. 161–190, insbesondere S. 186), wobei der Variablentyp der durch Rekursion definierten Ausdrucke höchstens von der Höhe 2 ist. (Der Ausdruck “Funktion zweiter Stufe” für ein Funktion von Funktionen stammt von Frege).

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  4. Der Indexx von Φ weist darauf hin, daß Φ von der Funktionf und nicht vonx abhängt.

  5. Siehe: R. Péter, A rekurziv függvények elméletéhez, Matematikai és Fizikai Lapok42 (1935), deutscher Auszug auf S. 25–28.

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  6. Ein Hinweis auf das Ergebnis von Herrn v. Neumann, das auch von Herrn Gödel durch eine ähnliche Methode gefunden wurde, befindet sich im Buche: D. Hilbert und P. Bernays, Grundlagen der Mathematik I (1934), S. 421–422.

  7. Man bemerke, daß die Einschachtelung hier eine andere Rolle spielt, als bei der einfachen Rekursion. Dort entsteht die Einschachtelung dadurch, daß für die Parameter Substitutionen erfolgen, wobei auch die zu definierende Funktion substituiert werden kann (daher kommt in einer einfachen Rekursion ohne Parameter keine Einschachtelung vor); die DefinitionD 3 enthält hingegen keine Parameter.

  8. Der Parametera kann hier mit der Methode des vorigen Paragraphen nicht ausgeschaltet werden, da diese Methode zu einer Rekursion mit zweifachen Einschachtelungen führt. Das ist aber auch nicht wichtig: unser Verfahren führt auch ohnedem zu Rekursionen mit einem Parameter.

  9. Man beachte, daß fürn l+1=0 das Produkt in der iolgenden Formel aus einem einzigen, zuj=0 gehörigen, Faktor besteht.

  10. (E x)A(x) bedeutet wie üblich: es gibt eine Zahlx, für dieA(x) gilt,

  11. A. a. O. 2), Th. Skolem, Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise, Videnskapsselskapets Skrifter (Kristiania) I. Mat.-Naturv. KL. (1923), Nr. 6, Satz VII, S. 191.

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Péter, R. Über die mehrfache Rekursion. Math. Ann. 113, 489–527 (1937). https://doi.org/10.1007/BF01571648

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