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Literatur
Eine Übersicht über die Juelschen Arbeiten und seine wichtigsten Ergbnisse, sowie eine Einführung in seine Gedankengänge, findet sich in der Abhandlung von Montel, Sur la géométrie finie et les travaux de M. C. Juel, Bull. des sc. math. (2)48 (1924), S. 109.
Rohn, Die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Spezies II, Ber. Verh. d. Sächs. Akad. Leipzig43 (1891), S. 4 ff.
Juel, Om ikke-analytiske Kurver, Danske Vid. Selsk. Skr. (7)1 (1906), S. 324 ff.
Mohrmann, Gewundene Kurven vom Maximalindex, Gott. Nachrichten 1916, S. 194 f.; Gewundene reelle Kurvenzüge beliebig hoher Ordnung ohne reelle Singularitäten, Sitz.-Ber. d. Bayer. Akad. d. Wiss. 1916, S. 201 ff.; Über algebraische und nichtalgebraische gewundene Kurvenn-ter Ordnung vom Maximalindex, Math. Annalen78 (1917), S. 171 ff.
Haupt, Ein Satz über die reellen Raumkurven vierter Ordnung und seine Verallgemeinerung, Math. Annalen108 (1933), S. 126 ff.
—a. a. O. 5), S. 139.
Vgl. z. B. A. Rosenthal, Über Kontinua von endlicher Ordnung, Journ. reine angew. Math.167 (1932), S. 270–273, insbes. S. 273; ferner A. Marchaud, Sur les continus d'ordre borné, Acta math.55 (1930), S. 67–115, insbes. S. 83–84; O. Haupt, Ein Satz über die reellen Raumkurven vierter Ordnung und seine Verallgemeinerung, Math. Annalen108 (1933), S. 126–142, insbes. S. 131.
Für Kurven und Bògen, die aus endlich vielen Bögen dritter Ordnung zusammengesetzt sind, also [nach Haupt —l. c. 1)]. für Kurven vierter Ordnung läßt sich aus der Existenz der Tangente allein ihre Stetigkeit folgern. Entsprechendes gilt für die Schmiegebene. Vgl. hierzu z. B. Marchaud l. c. 1) M. C. Juel, Bull. des sc. math. (2)48 (1924), S. 109, sowie I. Sauter, Über die Stetigkeit der Tangentialschmieghalbräume eines Bogensn-ter (Realitäts-) Ordnung im projektivenR n [S.-B. physik.-med. Soz. Erlangen65 (1934), S. 189–190].
C. Juel, Beispiele von Elementarkurven und Elementarflächen. Atti Congr. internaz. Matem. Bologna4 (1928), S. 195–215.
—Vgl. die in Fußnote 1). angegebenen Arbeiten von Marchaud und Haupt.
—Vgl. Fußnote 2).
Vgl. z. B. O. Haupt, Über die Struktur reeller Kurven, Journ. reine angew. Math.164 (1931), S. 50–60, insbes. S. 51.
Vgl. z. B. O. Haupt, Über Kontinua von beschränkter Ordnung, Sitz.-Ber. Bayer. Akad. Wiss. 1931, S. 49–61, insbes. S. 54.
Marchaud, —l. c. 1). S. 79; Haupt, l. c. S. 129.
Haupt, —l. c. 1).
Man kann aber zeigen, daß die Angaben der Einleitung für sie gültig bleiben.
Mohrmann, Gewundene reelle Kurvenzuge beliebig hoher Ordnung ohne reelle Singularitäten. Sitz.-Ber. Bayer. Akad. Wiss. 1916, S. 201 ff.; b) Mohrmann, Über algebraische und nichtalgebraische gewundene Kurvenn-ter Ordnung vom Maximalindex. Math. Annalen78 (1918), S. 171 ff.
Juel, Die gewundenen Kurven vom Maximalindex auf einer Regelfläche zweiter Ordnung (§ 1); Danske Vid. Selsk. Skr. (8)2, 5 (1917), S. 279 ff.
Vgl. § 4 dritter Fall.
Die angegebenen Sätze gelten auch unter schwächeren Voraussetzungen als denen des § 1. Weitere Sätze finden sich in der Fußnote 16)a) Mohrmann, Gewundene reelle Kurvenzuge beliebig hoher Ordnung ohne reelle Singularitäten. Sitz.-Ber. Bayer. Akad. Wiss. 1916, S. 201 ff. und insbesondere in der Fußnote 17) Juel, Die gewundenen Kurven vom Maximalindex auf einer Regelfläche zweiter Ordnung (§ 1); Danske Vid. Selsk. Skr. (8)2, 5 (1917), S. 279 ff. genannten Arbeit (Sonderfalln=4).
Vgl. etwa W. Fenchel: Elementare Beweise und Anwendungen einiger Fixpunktsätze; Matematisk Tidskrift B (1932), S. 66 ff.
Vgl. etwa: Bonnesen-Fenchel, Theorie-der konvexen Körper (Ergebnisse d. Math.3, Heft 1), S. 15.
Dieser Satz kann auch Ergebnissen von Juel [Om ikke analytiske Kurver, Danske Vid. Selsk. Skr. (7)1, S. 324 ff. (1906)] folgendermaßen entnommen werden: Projiziert man die Kurve vierter Ordnung von einem ihrer Punkte aus auf eine Ebene, die nicht durch diesen Punkt geht, so entsteht eine ebene Kurve dritter Ordnung. Einem Wende- oder Doppelpunkt der ebenen Kurve entspricht eine Schmiegebene oder Trisekante der Kurve vierter Ordnung durch das Projektions. zentrum. Juel hat bewiesen, daß eine doppelpunktfreie Kurve dritter Ordnung genau drei, eine Kurve dritter Ordnung mit Doppelpunkt genau einen Wendepunkt besitzt; hieraus folgt die obige Behauptung.
Der Sehnert ist die Tangente des Punktess (s≠r, s≠t) dann und nur dann koplanar, wennt Bildpunkt der zur gehörigen Abbildungt (s) ist:t=t(s). Hieraus und aus den Betrachtungen der §§ 13 und 14 ergibt sich u. a., daßeiner Sehne hochstens vier Tangenten koplanar sind; dennt hat höchstens zwei Urbilder.
W. Blaschke hat nach der niedrigsten Ordnung einer stets gleichsinnig gewundenen geschlossenen Kurve gefragt (Vorlesungen über Diff. Geom. Bd. II, 1.–2. Auflage 1923, S. 101). Sie kann den kleinstmöglichen Wert, nämlich 4, annehmen, und es gibt sogar algebraische Beispiele (vgl. die in der Einleitung dieser Arbeit, Fußnote 2), genannte Abhandlung von Rohn).
Vgl. W. Fenchel, Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven; Math. Annalen101 (1929), S. 241 ff.
Es sei noch ein zweiter Beweis angedeutet (erster Fall des § 8). Aus dem Ende des § 1 schließt man, daß es zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wendepunkten wenigstens einen Kurvenpunkt gibt, dessen Schmiegebene durchP geht; es schicken also mindestens vier Kurvenpunkte ihre Schmiegebenen durchP. Die Tangentialebene des Punktess durchP trifft die Kurve in zwei weiteren Punktent undt′, die sich stetig mits ändern. Nach dem Muster des § 5, III (es war unwesentlich, daß der feste Punktr auf der Kurve lag!), überzeugt man sich davon, daß, wenn diese Tangentialebene die Schmiegebene vons ist, der eine der beiden Punktet undt′ rückläufig durchs hindurchgeht. Daraus schließt man, daß zwischen je zwei Kurvenpunkten mit gleichem Schraubungssinn, deren Schmiegebenen durchP gehen, die Sekanten durchs undt odert′ die ganze Tangentialebene überstrichen haben, daß also mindestens zwei Sekanten durchP gehen. Da die ganze Kurve auf dem Rande ihrer konvexen Hülle liegt, folgt hieraus, daßP auf mindestens zwei Sehnen liegt.
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Diese Arbeit ist von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Göttingen als Dissertation angenommen worden.
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Scherk, P. Über reelle geschlossene Raumkurven vierter Ordnung. Math. Ann. 112, 743–766 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565440
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01565440