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Literatur
Sur le problème des courbes gauches en topologie. Fund. Math. 15.
Ein KomplexK ist ein System endlich vieler Punkte (=Ecken vonK) und Jordanbögen (=Kanten vonK) im Raum. Jede Kante verbindet zwei verschiedene Ecken (=Endpunkte der Kante), je zwei Ecken sind durch höchstens eine Kante verbunden und je zwei Kanten sind bis auf gemeinsame Endpunkte punktfremd.
Ein Komplex entsteht durch Unterteilung eines gegebenen Komplexes, indem man einfach auf den Kanten des letzteren neue Ecken einführt.
Sofern eine Kante vonK diese beiden Ecken nicht bereits verbindet.
Es folgt weiter leicht, daß jedes ebeneK keinenK a oderK b als Teilkomplex enthält. Wie man sieht, besteht die Fig. 1a aus funf Ecken, die zu je zwei durch Kanten verbunden sind, und die Fig. 1b aus zwei Tripeln von Ecken, so daß jede Ecke des ersten Tripels mit jeder Ecke des zweiten durch eine Kante verbunden ist. A. Errera hat in einer Arbeit: “Un théorème sur les liaisons”, C. R.177, gezeigt, daß jedes ebeneK keinenK b als Teilkomplex enthält. Der Beweis wird sehr einfach, wenn manK 4 durch Aneinanderlegung seiner Vierccke aufbaut und mittels der Vierecke, die mit 1. 2 bzw. 3 Kanten anliegen, Anzahlformeln ableitet. (AnalogK 3).
Wir können annehmen, daßK 3 ein Dreieckschema [vgl. Fig. 2a] ist. Jedes Dreieck, das aus drei Kanten vonK 3 besteht und in dessen Innerem oder Äußerem—offenbar spielt dieses Dreieck keine ausgezeichnete Rolle, wenn manK 3 als Polyeder auf der Kugel deutet—keine Ecke vonK 3 liegt, nennen wir ein Dreieck vonK 3.
Ein Stern ume zerfällt in zwei Halbsterne, wenn wir ihn längs zwei Kanten, die ane liegen, (=Schnitt der Halbsterne) durchschneiden.
Bei einem Umlauf ume 2 liegen gleich bezeichnete Kanten hintereinander.
Wir können annehmen, daßK 4 ein Viereckschema ist [vgl. Fig. 2b]. Die Gesamtheit der Vierecke vonK 4 mit der gemeinsamen Eckee nennen wir einen Stern ume. Die Bezeichnung ist der beiK 3 analog [s. Fußnote 6)]. Wir können annehmen, daßK 3 ein Dreieckschema [vgl. Fig. 2a] ist. Jedes Dreieck, das aus drei Kanten vonK 3 besteht und in dessen Innerem oder Äußerem — offenbar spielt dieses Dreieck keine ausgezeichnete Rolle, wenn manK 3 als Polyeder auf der Kugel deutet — keine Ecke vonK 3 liegt, nennen wir ein Dreieck vonK 3.
Wie man leicht sieht, kann man annehmen, daß es kein Viereck aus vier Kanten vonK 4 gibt, das sowohl im Inneren wie im Äußeren Ecken vonK 4, aber nicht im Inneren und Äußeren je eine dere 1 unde 2 enthält.
Man sieht, daß das eine Tripel der Ecken vonK b [s. Fußnote 3)] Errera hat in einer Arbeit: “Un théorème sur les liaisons”, C. R.177, gezeigt, daß jedes ebeneK keinenK b als Teilkomplex enthält. zuE 1, das andere zuE 2 gehört (dasselbe gilt im 2. Fall). Durch Vergleich mit A bemerkt man übrigens, daßK 3+k ebenfalls einenK b enthält, falls ane 1 odere 2 min. destens vier Kanten vonK 3 liegen.
Fallse 1 unde 2 in der Figur 9 miteinander vertauscht sind, spiegele man die Ebene z. B. an dem inneren Viereck vonZ.
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Wagner, K. Zwei Bemerkungen über Komplexe. Math. Ann. 112, 316–321 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565419
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01565419