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Eine absolute Axiomatik der Geometrie in einer begrenzten Ebene

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Literatur

  1. J. Hjelmslev, Neue Begründung der ebenen Geometrie, Math. Annalen64 (1907), S. 449–474.

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  2. D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie. Die Nummern der Axiome und Sätze im folgenden bezichen sich auf die 7. Auflage (Leipzig 1930).

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  4. F. Schur Über die Grundlagen der Geometrie, Math. Annalen55 (1901), S. 274.

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  5. D. h. eine Ebene, in welcher das sogenannte Archimedische Axiom, heute vielleicht besser das “Eudoxische” Axiom genannt, gilt.

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  7. Hjelmslev, l. c. J. Hjelmslev, Neue Begründung der ebenen Geometrie, Math. Annalen64 (1907), S. 449–474. Math. Annalen 64. Wir brauchen hier vorläufig nur die Sätze 1–5, 8–11, 23.

  8. Dabei braucht man dann auch die meisten der bisher noch nicht benutzten Hjelmslevschen Sätze.

  9. Der Beweis von Hessenberg für den Desarguesschen Satz aus dem Pappusschen (Math. Annalen61, S. 161 ff.) gilt zwar nicht in einer beschränkten Ebene, läßt sich aber so abändern, daß er auch in diesem Fall gilt.

  10. Eine Andeutung eines Weges, um in die ebene Geometrie auf Grund des Desarguesschen Satzes ideale Elemente einzuführen, gibt M. Dehn, Die Legendreschen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck, Math. Annalen 53 (1900), S. 407. Auch die von R. Moufang gegebene Einführung auf Grund des Vierseitssatzes kann hier angewandt werden, weil der Vierseitssatz auch in einer begrenzten Ebene eine Folge des Desarguesschen Satzes ist. Vgl. R. Moufang, Math. Annalen 105 (1931), S. 759–778 und I. J. Smid, Math. Annalen 111 (1935), S. 285–288.

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  11. Mit Einschaltung des projektiven Fundamentalsatzes findet man das bei Schur, Über den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie, Math. Annalen 51 (1899), S. 401 ff und l. c. Math. Annalen 55, S. 281 ff. Ohne Einschaltung des Fundamentalsatzes bei Hilbert, Grundlagen, §§ 24 bis 27 und 34.

  12. Vgl. z. B. Schur, —L. c., Math. Annalen 55, S. 286 ff., und Pasch-Dehn, Vorlesungen über neuere Geometrie (Berlin 1926), S. 210 ff.

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Authors and Affiliations

  1. Warffum, (Niederlande)

    L. J. Smid

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  1. L. J. Smid
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Mit dem Wort “absolut” wollen wir andeuten, daß es eine metrische Axiomatik betrifft, wobei nicht von vornherein in den Axiomen festgelegt ist, ob die Geometrie eine hyperbolische, parabolische oder elliptische ist.

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Smid, L.J. Eine absolute Axiomatik der Geometrie in einer begrenzten Ebene. Math. Ann. 112, 125–138 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565410

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