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Literatur
Diese Arbeit stellt eine vollständige Neubearbeitung eines früher (im Sommer 1934) bei den Annalen (unter dem gleichen Titel) eingereichten vorwiegend programmatischen Artikels dar.—Sie enthält den ersten Teil einer Untersuchung der allgemeinstenn-dimensionalen Flächen, in welchen neue, mit kombinatorischen Invarianten eng zusammenhängende, infinitesimale Eigenschaften der Fläche aufgezeigt werden. Inzwischen konnte ich die entsprechenden Eigenschaften bei abgeschlossenen Mengenbeliebiger Dimension nachweisen. Die Flächen stellen aber einen wichtigen Spezialfall dar, insbesondere methodisch, weil man—wohl nur in diesem Falle—mit dem (Brouwerschen) Abbildungsgrad (einer besonderen—harmonisch genannten-Abbildung der Komplexe) allein auskommt. Im allgemeinen Fall von Mengen beliebiger Dimension schließt sich die infinitesimale Theorie methodisch an die Untersuchungen im Großen von Alexandroff, Lefschetz und anderen an, welche auf Dualitätssätzen und Approximationstheorie (durch Zyklen) beruhen. (Vgl. meine Note in Comptes rendus vom 12. August 1935.) Der ursprüngliche Artikel enthielt eine Reihe von Hypothesen, welche inzwischen bewiesen wurden; ein Teil dieses Artikels ist—in der ursprünglichen Fassung—am Anfang der Einleitung wiedergegeben.
Vgl. die unter 7)B. Kaufmann, Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences198 (1934); zitierten Arbeiten.
Die Frage, inwiefern einn-dimensionalerM-Punkt auch einr-dimensionalerM-Punkt an sich ist, lassen wir hier außer acht. Die obige Definition ermöglicht uns von einer „Gesamtheit allerr-dimensionalenM-Punkte” zu sprechen, wo es sich eigentlich um die, Gesamtheit allermindestens r-dimensionalenM-Punkte” handelt.
Vgl. P. Alexandroff, Dimensionstheorie, Math. Annalen106. Die Kernmengen werden von Alexandroff im Sinne seiner Dimensionsdefinitionen modm eingeführt. Einer-dimensionale MengeF enthält eine TeilmengeF′, welche mit einem (n-r-l)-Zyklus relativ einer KugelumgebungU verschlungen ist. Dabei werden ein Zyklusz und eine MengeF′ als verschlungen betrachtet (bezüglichU), wennz≁0 inU-F und für jede echte TeilmengeF″ vonF z∼0 inU-F″. Der DurchschnittF′·U ist, wie Alexandroff zeigte, eine Mannigfaltigkeit bzw. eine „direkte Kernmenge”.
Für die Einführung von neuen Definitionen könnten, wie ich glaube, zwei Gesichtspunkte maßgebend sein. Der eine ist der oben erwähnte. Man könnte aber auch—wie es oft geschieht—auf Grund der in einer Definition enthaltenen Bedingungen eine Klasse von Gebilden festlegen: im letzteren Falle würden somit die Objekte der Untersuchung von den Definitionen abhängen. Denn ganz allgemein scheint ja die Tragweite einer Begriffsbildung um so größer zu sein,je scharfer einerseits die Begriffsbildung—undandererseits je allgemeiner und unabhängiger (von der Begriffsbildung) die Klasse der Gegenstände ist, deren wesentliche Eigenschaften auf Grund der Begriffsbildung erfaßt werden.—Dies sei hier nur deshalb erwähnt, weil gerade die Schärfe der obigen Definitionen (Mannigfaltigkeitspunkte, insbesondere Rißpunkte) eine Gefahr in sich bergen könnte: durch ihre Schärfe könnten diese Begriffe für die allgemeinsten Gebilde bedeutungslos werden.
B. Kaufmann, Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences198 (1934); B. Kaufmann, Cantor Manifolds lying on a closed surface, Proc. Camb. Phil. Soc.30 (1934); H. D. Ursell, Cantor Manifolds lying on a closed surface Part II. Ibid.31 (1935), sowie B. Kaufmann und H. D. Ursell, The Dissection of Closed Surfaces and the Phragmén-Brouwer-Alexandroff Theorem, Proc. N. A. S. (U. S. A.)20 (1934).
Vgl. die zweite und die dritte der unter 7) B. Kaufmann, Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences198 (1934); zitierten Arbeiten.
Vgl. H. D. Ursells und meine unter 7) B. Kaufmann, Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences 198 (1934) zitierte Arbeit in Pr. Nat. Ac. Sc.
Ursprünglich sprach ich die Vermutung aus [vgl. meine unter 7) B. Kaufmann Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences 198 (1934); zitierte Note in C. R.]. daß die Menge allern-dimensionalen Mannigfaltigkeitspunkten-dimensional ist. Diese Vermutung trifft (auch für Rißpunkte) nur unter Verwendung einer geeigneten Definition der Dimension für (im allgemeinen) nicht abgeschlossene Mengen zu. Der tatsächliche Aufbau der Flächen scheint eine solche Definition zu rechtfertigen. Wir sagen, eine Menge ɛ istr-dimensional bezüglich einern-dimensionalen abgeschlossenen MengeA, fallsr die kleinste Zahl ist mit der Eigenschaft, daß je zwei (disjunkte) abgeschlossene TeilmengenA′ undA″ vonA durch einen höchstens (n-1)-dimensionalen SchnittB getrennt werden können, wobei ɛ höchstens (r-1). dimensional bezüglichB ist. — Falls ɛA=-, so nennen wir ɛ.,, (−1)-dimensional bezüglichA. Besteht eine MengeA aus einem einzigen Punkt, so ist ɛ O- oder (−1)-dimensional beziglichA, je nachdem der PunktA in ɛ enthalten ist oder nicht. Eine besonders anschauliche Definition der relativen Dimension erhält man im Zusammenhang mit den Pflastersätzen. — Wir betrachten nur solche ɛ-Über-deckungen vonA, welche zu jek Teilen (2≦k≦n+2) (n-k+1)-dimensionale Durchschnitte haben. Wir nennen ɛr-dimensional bezüglichA, fallsr die kleinste Zahl ist, so daß für jedes ɛ eine ɛ-Überdeckung vonA existiert, für welcher+1, aber keiner+2 Teile einen gemeinsamen Punkt von ɛ enthalten. — Im Sinne dieser beiden Definitionen gilt der Satz, daßdie Dimension aller n-dimensionalen Mannigfalligkeitspunkte auf einer Fläche genau n-dimensional ist. Der Beweis dieses Satzes wie auch des Satzes VI beruht auf einer weitgehenden Verallgemeinerung der Methoden des § 3. Durch geeignete Teilung der Fläche in 2n Teile entstcht, eine harmonische Teilung des Raumes und dern-dimensionalen Komplexe in 2n+2 Teile. Der Grad der (harmonischen) Abbildung dieser Komplexe auf einenn-dimensionalen Würfel ermöglicht die Konstruktion von beliebig kfeinen Mannigfaltigkeiten, welche alle 2n Teile der Flächen treffen. Diese Konstruktion ermöglicht den Beweis der Sätze, welcher in der Fortsetzung dieser Arbeit dargestellt wird.
Vgl. die unter 7) B. Kaufmann, Sur les surfaces fermées générales et la dimension locale, Comptes rendus de l'Ac. des Sciences 198 (1934); zitierten Arbeiten von H. D. Ursell und mir in Proc. Camb. Phil. Soc.
Frankl-Pontrjagin, Math. Annalen102 (1930); Frankl, Math, Annalen 103 (1930).
Wir setzen voraus, Δ treffeF′ undF″ und verlaufe somit teilweise in einem “Außengebiet”G 1 und teilweise in einem “Innengebiet”G 2.
MitG 1 undG 2 werden zwei vonF begrenzte Gebiete bezeichnet, welche (in ihrer Summe) alle Punkte von Δ (außerhalbF) enthalten.
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Kaufmann, B. Der lokale Dimensionsbegriff. Math. Ann. 112, 107–124 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565409
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