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Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier-Transformation

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Literatur

  1. Genaueres in G. Doetsch, Der Faltungssatz in der Theorie der Laplace-Transformation. Annali R. Scuola Norm. Sup. Pisa (2)4 (1935), S. 71–84. Für die Anwendung auf Integralgleichungen vgl. insbesondere: Die Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus. Math. Annalen 89 (1923), S. 192–207.

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  2. Für die Anwendung auf Differentialgleichungen siehe z. B. meine Note: Das Eulersche Prinzip. Randwertprobleme der Wärmeleitungstheorie und physikalische Deutung der Integralgleichung der Thetafunktion. Annali R. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 2 (1933), S. 325–342 und meine dort zitierten früheren Arbeiten seit 1923.

  3. Vgl. meinen Züricher Vortrag: Die Anwendung von Funktionaltransformationen in der Theorie der Differentialgleichungen und die symbolische Methode (Operatorenkalkül). Jahresber. DMV 43 (1934), S. 238–251 [S. 242].

  4. Siehe den unter meinen Züricher Vortrag: Die Anwendung von Funktionaltransformationen in der Theorie der Differentialgleichungen und die symbolische Methode (Operatorenkalkül). Jahresber. DMV 43 (1934) zitierten Vortrag, S. 251.

  5. H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques. Paris 1906, S. 37. u. 91

  6. Dieser Satz findet sich mit anderem Beweis bereits bei N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications. Cambridge 1933, S. 45.

  7. Allgemeine und ausführlichere Erörterung dieses Unterschiedes siehe in meinem Genfer Vortrag: Les équations aux dérivées partielles du type parabolique. Abschnitt II, I, der in L'Enseignement Mathématique 34 oder 35 erscheinen wird.

  8. Über das Problem der Wärmeleitung. Jahresber. DMV 33 (1925), S. 45–52; Probleme aus der Theorie der Wärmeleitung. I.-III. Mitteilung. Math. Zeitschr. 22 (1925), S. 285–306; 25 (1926), S. 608–626.

  9. Vgl. die unterÜber das Problem der Wärmeleitung. Jahresber. DMV 33 (1925), S. 45–52; zitierte II. und III. Mitteilung. — Unsere Theorie zeigt übrigens die bekannte, z. B. von Fourier benutzte und nur auf spezielle Randbedingungen zugeschnittene Integrationsmethode durch Fourierreihen (Methode der Partikularlösungen) in einem neuen Licht und läßt erkenne, warum diese Methode, exakt durchgeführt, so viele Voraussetzungen machen muß und warum es bei ihr so schwer fällt, die Lösung den Randbedingungen anzupassen, was bei der oben entwickelten Theorie gerade besonders einfach ist. — Ganz analog liefert unsere frühere Methode der Laplace-Transformation (vgl. § 1) die Fundierung für die in vielen Untersuchungen seit Cauchy benutzte Integration durch Fourierintegrale, bei der dieselbe Schwierigkeit hinsichthch der Randbedingungen auftritt. Vgl. den unter 4) zitierten Vortrag, S. 249–251.

  10. Wegen dieses und des Huygensschen Prinzips siehe G. Doetsch, Thetarelationen als Konsequenzen des Huygensschen und Eulerschen Prinzips in der Theorie der Wärmeleitung. Math. Zeitschr. 40 (1935), Abschnitt I, 1 und 2.

  11. Damit manK mit dem nach (3,47) erhaltenen Ausdruck gleichsetzen kann, muß natürlich die Eindeutigkeit der Lösung feststehen. Diese läßt sich hier keicht mit dem Satz von Gevrey beweisen; siehe hierzu die unter 16) zitierte Arbeit, Abschnitt I, 3.

  12. Vgl. hiermit die in der unter Wegen dieses und des Huygensschen Prinzips siehe G. Doetsch, Thetarelationen als Konsequenzen des Huygensschen und Eulerschen Prinzips in der Theorie der Wärmeleitung. Math. Zeitschr. 40 (1935) zitierten Arbeit sowie in: Transzendente Additionstheoreme der elliptischen Thetafunktionen und andere Thetarelationen vom Faltungstypus. Math. Annalen 90 (1923), S. 19–25 angegebenen Additionstheoreme hinsichtlichv.

  13. In den unter Über das Problem der Wärmeleitung. Jahresber. DMV 33 (1925), S. 45–52; zitierten Arbeiten (DMV und III. Mitteilung).

  14. In der unter Wegen dieses und des Huygensschen Prinzips siehe G. Doetsch, Thetarelationen als Konsequenzen des Huygensschen und Eulerschen Prinzips in der Theorie der Wärmeleitung. Math. Zeitschr. 40 (1935) zitierten Note, Abschnitt III, 3.

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  1. Freiburg i. B.

    Gustav Doetsch

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  1. Gustav Doetsch
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Doetsch, G. Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier-Transformation. Math. Ann. 112, 52–68 (1936). https://doi.org/10.1007/BF01565403

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