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Mathematische Annalen

, Volume 70, Issue 3, pp 351–376 | Cite as

Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen

I. Teil: Theorie derL-Formen
  • Otto Toeplitz
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References

  1. *).
    Vgl. Grundlagen § 8.Google Scholar
  2. **).
    Vgl. die letzte Anmerkung zu § 1.Google Scholar
  3. ***).
    Vgl. § 7, Satz 12, Anmerkung.Google Scholar
  4. *).
    Sie ist sogar „absolut-beschränkt” (vgl. Grundlagen § 5, 4. Bemerkung). In der Voranzeige in den Gött. Nachr. von 1907 war durchweg von absoluter Beschränktheit die Rede, und es wurde dafür unter Hinweis auf den Unterschied kurz der Name ”beschränkt” gebraucht. Die weitere Entwicklung der Theorie hat jedoch gezeigt, daß es zweckmäßiger ist, überall beschränkte, nicht absolut-beschränkte Formen zu betrachten.Google Scholar
  5. **).
    Vgl. Grundlagen § 6.Google Scholar
  6. *).
    Vgl. Grundlagen, Schluß von § 6.Google Scholar
  7. **).
    Grundlagen § 7.Google Scholar
  8. *).
    Der ganze Beweisgang ist dem allgemeinen Kriterium für das Vorhandensein einer beschränkten Reziproken (Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. der Kgl. Ges. der Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1907, S. 101–109) entnommen und nur gemäß den vorliegenden speziellen Verhältnissen vereinfacht.Google Scholar
  9. **).
    Vgl. Grundlagen § 3, Korollar zum 1. Faltungssatz.Google Scholar
  10. ***).
    BeiL-Matrizen liegen bezüglich der Reziproken also nur die beiden der vier möglichen Fälle vor, die bei endlichen Matrizen vorkommen. Vgl. Grundlagen § 7, Ende.Google Scholar
  11. †).
    Es ist darin die Lösung der Aufgabe enthalten, die reziproke Funktion 1/f(z) einer in Laurentscher Entwicklung gegebenen Funktionf(z) selbst nach Laurent zu entwickeln: die Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder die von E. Schmidt (Pal. Rend. 1908) ergeben diese Anflösung in Verbindung mit Satz 4 des Textes.Google Scholar
  12. *).
    Vgl. Grundlagen § 8.Google Scholar
  13. *).
    wie Hellinger in seiner Dissertation (Göttingen 1907) S. 76–77 hinzufügt.Google Scholar
  14. *).
    Dieser Satz findet sich explizit weder in den „Grundlagen” noch anderwärts ausgesprochen; er ist zuerst in meiner Arbeit „Die Jacobische Transformation...”, Gött. Nachr. 1907, enthalten, und die eine Hälfte von ihm („wenn das Spektrum positiv ist, ist die Form definit”) läßt sich wohl nicht einfacher beweisen als mittels der dort angegebenen, von E. Hellinger herrührenden Methode, die übrigens auch am Schluß des Beweises von Satz 4 der vorliegenden Arbeit (§ 1) auseinandergesetzt worden ist. Die andere Hälfte des Satzes („das Spektrum einer definiten Form ist positiv”) kann man durch einen Kunstgriff von E. Hilb sehr einfach beweisen, indem man sich der sog. Neumannschen Methode bedient. Ist nämlichC definit, so istC−λE für einen negativen Wert von λ nicht nur definit, sondern seine untere Grenze ist größer als |λ|, also >0, für alle Wertsystemex 1,x 2,..., deren Quadratsumme gleich 1 ist. Für eine solche Form beweist aber der Verf. (a. a. O. § 3) und Hilb (Ber. der phys.-med. Soc. in Erlangen, 40 (1908), S. 84; vgl. statt dessen etwa auch Fortschritte d. Math. 39, S. 407 f.), daß sie eine eindeutige beschränkte Reziproke besitzt, und folglich besitztC−λE eine solche für jedes negative λ, d. h. das Spektrum vonC ist positiv.Google Scholar
  15. **).
    Der Fall, daß irgendwelche der Determinanten Δϰ verschwinden, ist dabei zunächst ausgeschlossen Der Satz bleibt jedoch auch in diesem Falle richtig, und es bedarf lediglichalgebraischer Betrachtungen, um die hier gegebene Herleitung auch auf diesen Fall mit auszudehnen. Andererseits folgt der Satz in der vollständigen Gestalt auch aus der Arbeit von Carathéodory (Math. Ann. 64) und den Untersuchungen, die Herr Carathéodory neuerdings an diese Arbeit angeknüpft hat und die er soeben in den Pal. Circ. Mat. Rend. veröffentlicht. Vgl. über diesen Zusammenhang die eben genannte Arbeit und die in Verbindung mit ihr erscheinende kurze Note des Verf. in den Pal. Circ. Mat. Rend.Google Scholar
  16. *).
    Vgl. meine inzwischen erschienene Note „Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen”, Nachr. der Kgl. Ges. d. Wiss. zu Gött., math.-phys. Kl., 1910, §§ 4 und 5, insbesondere auch die Anmerkung zu Satz 11 daselbst.Google Scholar
  17. **).
    Vgl. auch. Grundlagen § 8, Satz von der Invarianz des Spektrums.Google Scholar
  18. *).
    Vgl. Grundlagen § 3.Google Scholar
  19. *).
    Dieser Satz in Verbindung mit der Auflösungsformel meiner Note über die Jacobische Transformation (Gött. Nachr. 1907) oder derjenigen von E. Schmidt (Rend. di Pal. 1908) enthält die Lösung der Aufgabe, die inverse Funktion von ω(z) in eine Laurentreihe zu entwickeln. Auch kann man diese Methode auf Fourierreihen von monoton wachsenden und daher eindentig invertierbaren Funktionenf(ϕ) übetragen, indem manz=cosϕ+isinϕ, ω=cosf+isinf setzt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1911

Authors and Affiliations

  • Otto Toeplitz
    • 1
  1. 1.Göttingen

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