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References
Abzählbar viele sind endlich oder abzählbar unendlich viele.
S.O. Haupt-G. Aumann, Differential-und Integralrechnung Bd. III, Berlin 1938, S. 7 bis 13.
Wegen (4) ist dies stets richtig, falls\(\bar m(\mathfrak{L}) = \infty \) ist.
C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Berlin 1918, S. 246.
Ein Beweis für die Äquivalenz von IV mit IV1 und IV2 findet sich beiO. Haupt-G. Aumann, 2) 1. 4. (S. 20 und 21).—Daß IV und IV1 äquivalent sind, ergibt sich hiernach so: Wenn IV gilt, so gilt erst recht IV1. Umgekehrt gelte IV1. Ist dann\(\mathfrak{M}\) eine Menge aus Λσ, für die es zu jedem ε>0 meßbare Mengen
gibt, so daß (12) gilt, so kann man insbesondere ∈=∈λ(λ=1,2,..) mit ελ→0 wählen. Bildet man dann mit zugehörigen Mengen
die meßbaren Mengen
, so wird
Da letzteres nur möglich ist, wenn
Nullmenge ist und IV1 gelten soll, muß also\(\mathfrak{M}\) meßbar sein. Weiters ist IV1 mit IV2 äquivalent. Wenn IV1 gilt, so gilt sichtlich auch IV2. Umgekehrt gelte IV2. Ist dann\(\mathfrak{M}\) eine Menge aus Λσ, zu der es meßbare Mengen
gibt, so daß
ist, so ist
als Teil der Nullmenge
nach IV2 meßbar und damit auch
. Schließlich ist IV mit IV3 äquivalent. Mit IV gilt sichtlich IV3. Umgekehrt gilt mit IV3 zunächst sichtlich IV2 und damit IV.S.H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1921, S. 436, Satz VIII.
Hierbei hat also\(\mathfrak{L}\) alle Mengen aus Λσ oder auch nur die endlichen äußeren Maßes zu durchlaufen (s. 3)).
Entsprechend dem Satze 9 beiC. Carathéodory 4) Vorlesungen über reelle Funktionen, Berlin 1918, S. 267.
Diese haben eine Darstellung der Forma v≦xv<bv (v=1,...,n).
Dieser Aufbau der Lebesgue'schen Maßtheorie ist beiO. Haupt-G. Aumann2)Differential-und Integralrechnung Bd. III, Berlin 1938, S. 7 bis 13. I. Abschnitt umrissen. —Vgl. auch die allgemeineren Maßtheorien vonE. Tornier, Wahrscheinlichkeitsrechnung und allgemeine Integrationstheorie, Leipzig und Berlin 1936, § 2; Maß-und Inhaltstheorien, in denen die Additivität der Maße nur im Unedlichkleinen gefordert wird, Berliner Sitzber. 1941, Nr. 8.
Dieser Aufbau ist beiC. Carathéodory 4) Vorlesungen über reelle Funktionen, Berlin 1918 Kap. V ausgeführt.
In 4)C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Berlin 1918, S. 238 vird unter I noch verlangt, daß μ* einen endlichen Wert ≠0 annehmen soll. Diese Forderung ist aber für den Aufbau der TheorieCarathéodorys entbehrlich.
Daß beiCarathéodory für ℜ der ℜn und beiHahn irgend ein metrischer Raum verlangt ist, beeinträchtigt die Gültigkeit der eben genannten Sätze VII, X, XVI im Falle irgend einer Menge ℜ nicht.
Daß dieser Satz an der genannten Stelle für “reguläre” äußere Maße bewiesen ist, hat auf seine Gültigkeit unter den vorliegenden Voraussetzungen keinen Einfluß. S. unten.
BeiH. Hahn ist ℜ irgend ein metrischer Raum 6) Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1921, S. 424.
gibt, so daß (12) gilt, so kann man insbesondere ∈=∈λ(λ=1,2,..) mit ελ→0 wählen. Bildet man dann mit zugehörigen Mengen
die meßbaren Mengen
, so wird
Da letzteres nur möglich ist, wenn
Nullmenge ist und IV1 gelten soll, muß also
gibt, so daß
ist, so ist
als Teil der Nullmenge
nach IV2 meßbar und damit auch
. Schließlich ist IV mit IV3 äquivalent. Mit IV gilt sichtlich IV3. Umgekehrt gilt mit IV3 zunächst sichtlich IV2 und damit IV.Author information
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Mayrhofer, K. Über vollständige Maße. Monatshefte für Mathematik 52, 217–229 (1948). https://doi.org/10.1007/BF01561626
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01561626