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References
Die vorliegende, dem Andenken anLudwig Berwald gewidmete Arbeit wurde—abgesehen von einer anderen Fassung der Anfangskapitel—der Redaktion der Compositio mathematica vorgelegt, konnte aber wegen der Einstellung dieser Zeitschrift dort nicht mehr erscheinen. Fast gleichzeitig mit mir hat sich auch mein damaliger KollegeBerwald mit demselben Problem beschäftigt und hat das hier behandelte Problem in ganz anderer Weise gelöst. Seine Arbeit ist inzwischen in den Annals of Math. erschienen und enthält bereits einen Hinweis auf die vorliegende Arbeit. (Ann. of Math.42 (1941).
P. Finsler: Über die Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. Inaugural-Dissertation, Göttingen (1903).
E. Cartan: Sur un problem d'équivalence et la théorie des éspaces métriques généralisés. Mathematica 4 (1930), 114–136.
L. Berwald: Insbesondere: Über zweidimensionale allgemeine metrische Räume; Journal d. reine und angew. Math. 156 (1927), 191, sowie die dortgenannten früheren Arbeiten.
E. Cartan: Les Espaces de Finsler, Actualités Scientifiques et Industrielles, 79, 80 (1934).
Finsler: l. c. Über die Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. Inaugural-Dissertation, Göttingen (1903). Man kann auch den Begriff “Breite” mit dem in Analogie mit der Riemannschen Geometrie definierten Begriff “Flächeninhalt” in Zusammenhang bringen. Man beachte die folgende elementargeometrische, Tatsache: Für den Flächeninhalt eines sphärischen Flächenstückes, das von Bogen gleicher metrisch gemessener Längel auf Parallelkreisen zwischen den Breitengraden β1 und β2 überdeckt wird, gilt die einfache Formel (β2−β1). Man kann den Begriff “Breite” in der Finslerschen Geometrie dadurch definieren, daß man die analoge Formel für ein Flächenstück fordert, das von Kurvenbogen überdeckt wird, die die gleiche Länge besitzen und die voneinander einen konstanten Breitenabstand haben. Vgl.Berwald: Über Finslersche und Cartansche Geometrie, Mathematica XVII.
SieheFinsler, l. c. Über die Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. Inaugural-Dissertation, Göttingen (1903). § 20. BeiFinsler selbst wird sofort der Winkel zwischen zwei beliebigen Kurven definiert.
Landsberg: Über die Krümmung in der Variationsrechnung. Math. Ann. 63 (1908), 313–349.
Die Bemerkung, daß man von derFinslerschen zurLandsbergschen Definition durch die Burkillische Integraloperation geführt wird, wurde vonGolab gemacht. Internationaler Mathematiker-Kongreß, Zürich 1932.
Underhill: Invariante of the function\(F(x, y, \overline x , \overline y )\) under point and parameter transformation, connected with the Calcul of Variations. Dissertation Chigago (1907). Siehe auchBolza, Lehrbuch der Variationsrechnung, Leipzig (1909), 228.
SieheBerwald L. Berwald: Insbesondere: Über zweidimensionale allgemeine metrische Räume; Journal d. reine und angew. Math. 156 (1927), 191 sowie die dortgenannten frühenren Arbeiten ferner die in (6) genannte Arbeit.
Für den Sonderfall
= const wurde diese Gleichung benützt in meiner Arbeit: Über Geometrien, in denen die Geraden die kürzesten Linien sind. Math. Ann. 101. Später für den allgemeinen räumlichen Fall wurde der projektive Parameter eingeführt durchWitehead in seiner Dissertation: The representation of projective Spaces. Ann. of Math. 32 (1931), 327. Über weiter Literatur sieheBerwald: On the projective geometry of paths. Ann. of. Math. 37 (1936), 879.Siehe Anmerkung 3.
Siehe Anmerkung 4.
G. Thomsen: Topologische Fragen der Differentialgeometrie, XVI, Abhandlungen, Hamburg (1930), 301.
Siehe in der genannten Arbeit vonThomson angegebene Literatur, insbesondereS. Lie: Klassifikation und Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen zwischen x und y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten, III. Ges. Werke, 362. FernerW. Blaschke: Geometrie der Gewebe, Springer, Berlin (1938), insbesondere § 29.
Andere übersichtlichere Formen dieser Formel, die man durch Anwendung derCartanschen Vertauschunsformel erzielen kann, wurden vonBerwald direkt auf einem anderen Weg abgeleitet. Vgl. Fußnote 1.
Auf Grund dieser Gleichung, der angegebenen geometrischen Bedeutung vonv läßt sich leicht ein Satz vonBerwald beweisen: Über eine charakteristische Eigenschaft der allgemeinen Räume konstanter Krümmung mit geradlinigen Extremalen. Monatshefte f. Math. u. Phys. 36 (1929), 315, undP. Funk: Über zweidimensionaleFinslersche Räume, insbesondere über solche mit geradlinigen Extremalen und positiver konstanter Krümmung. Math. Zeitschr. 40 (1935), 86–93.
Von dieser Gleichung aus kann man das Ergebnis dieses Paragraphen auch durch direkte Rechnung bestätigen, indem man öfters dieCartansche Vertauschungsformeln benützt.
D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Anhang I.
Siehe Anmerkung 11 und 17 und ferner:P. Funk: Über Geometrien, bei denen die Geraden die kürzesten Linien sind und die Aequidistanten zu einer Geraden wieder Gerade sind. Monatshefte für Math. u. Phys. 37 (1030).
= const wurde diese Gleichung benützt in meiner Arbeit: Über Geometrien, in denen die Geraden die kürzesten Linien sind. Math. Ann. 101. Später für den allgemeinen räumlichen Fall wurde der projektive Parameter eingeführt durchWitehead in seiner Dissertation: The representation of projective Spaces. Ann. of Math. 32 (1931), 327. Über weiter Literatur sieheBerwald: On the projective geometry of paths. Ann. of. Math. 37 (1936), 879.Author information
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Dem Andenken an Ludwig Berwald gewidmet.
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Funk, P. Beiträge zur zweidimensionalen Finsler'schen Geometrie. Monatshefte für Mathematik 52, 194–216 (1948). https://doi.org/10.1007/BF01561625
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01561625