The elastic coupling between longitudinal and transversal vibrations of isotropic rods I. Rods of square and rectangular cross-section

Abstract

A new approximate method for theoretically calculating longitudinal vibration frequencies of isotropic homogeneous rods of square and rectangular cross-section is given. We divide a three-dimensional longitudinal vibration into three one-dimensional ones; the coupling between the principal strains in question is assumed to be linear, similarly as in the static case of simple tension. The coupling between the deformations is realized by variable coupling parametersϕ orψ depending on the order of vibrations (contrary to Rayleigh's correction where Poisson's ratioσ is the coupling parameter). These parameters are defined by the condition that the corresponding frequency must be minimized (stationary).

Up till now Giebe and Blechschmidt [2] have given the best approximate method of calculation. The series of their calculated frequencies corresponds to the measuredones nearly as well as the frequencies calculated by us. The theory described here, however, contains a richer spectrum of frequencies and at the same time explains the frequencies measured in the range of the so-called dead zone, which is the weak point of Giebe's and Blechschmidt's theory.

Abstract

Описан приближенный метод теоретическог о определения частот продольных колебани й изотропных однородн ых стержней квадратн ого и прямоугольного сечений. Трехмерные колебани я разлагаем на три одн омерных; связь между с оответствующими основными деφормаци ями предполагается л инейной, подобно как в статическом случае простого натяжения. С вязь между деφормаци ями выражают перемен ные параметры связиϕ илиψ, зависящ ие от порядка колебан ий (в отличие от поправ ки Рэлея, где роль параметра связи игра ет постоянная Пуассо на σ). Эти параметры опр еделяются условием, что соответствующие частоты должны быть м инимальными (стацион арными).

До сих пор лучший приб лиженный метод был да н Гибе и Блехшмидтом [2]. Ряд, частот ими подсчитан ный согласуется с изм еренными приблизите льно так хорошо, как и частоты подсчит анные нами. Теория, опи санная в настоящей ра боте, однако, содержит более богат ый спектр частот и одн овременно дает объяс нение частот, измеряе мых в области т. наз. мертво й зоны, которая являет ся слабой стороной те ории Гибе и Блехшмидта.